గూడెల్ రెండో సిద్ధాంతం

గూడెల్ మొదటి సిద్ధాంతాన్ని FA భాషలోనే ఓ ఫార్ములాగా రాయవచ్చు. “FA వైరుధ్య రహితం” అన్న దానిని A గా సూచిద్దాం. అప్పుడు FA లో ఆ ఫార్ములా: “A ⊃ G”. (MA భాషలో దీని అర్థం: “A implies G”.) దీనిని FA లో రుజువు చెయ్యగలం (అంటే స్వయంసిద్ధ ఫార్ములాలతో మొదలెట్టి, సూత్రాలతో “A ⊃ G” ని FA లో రాబట్టగలం.) ఫార్ములా A ని రాబట్టగలిగితే, G ని కూడా రాబడతాం. అంటే G ని నిరూపించగలుగుతాం. కాని G ని నిరూపించలేము అని పైన గూడెల్ మొదటి సిద్ధాంతం ద్వారా రుజువు చేశాం. కాబట్టి A ని కూడా నిరూపించలేము. అంటే “FA వైరుధ్యరహితం,” అన్నది నిరూపించడం అసాధ్యం!

ఈ నిరూపించడం అనేది మనం FA లోని సూత్రాలకు కట్టుబడి చేస్తున్నామని గుర్తుంచుకోవాలి. ఓ వ్యవస్థ ని వైరుధ్య రహితం అని ఆ వ్యవస్థలోని సూత్రాల ఆధారంగా చూపించలేము. మరో వ్యవస్థనాధారంగా చూపెట్టవచ్చు. కాని అప్పుడు ఆ మరో వ్యవస్థ వైరుధ్య రహితమని నిరూపించలేము.

ఇది హిల్బర్ట్ పథకానికి చావు దెబ్బ. మరోసారి హిల్బర్ట్ సమాధి మీద మాటలని గుర్తు తెచ్చుకుందాం: “తెలుసుకోగలం, తెలుసుకుంటాం”. గూడెల్ తెలుసుకోలేమని వాదించడం కాదు, శాస్త్రీయంగా నిరూపించాడు!

ముగింపు

గత శతాబ్దంలో భౌతిక శాస్త్రం అనూహ్యమైన మార్పులకి లోనయింది. సాపేక్ష సిద్ధాంతం ప్రకారం, రెండు సంఘటనలు ఒకే సమయంలో జరిగాయని ఒకరికనిపిస్తే, మరొకరికి అవి వేరు వేరు సమయాల్లో జరిగినట్లనిపించవచ్చు. అనిశ్చితత్వ నియమం (Uncertainty Principle) ప్రకారం, వస్తువు స్థానమూ, వేగమూ ఒకేసారి ఖచ్చితంగా కనుక్కోలేము. గణితంలో అనిశ్చితత్వ ముంటుందని ఎవరూ ఊహించలేదు. కాని గూడెల్ ఏ గణిత వ్యవస్థా సంపూర్ణమూ, వైరుధ్యరాహిత్యమూ అని నిరూపించడం అసాధ్యమని రుజువు చేశాడు. వైరుధ్యరహితమైతే ఆ వ్యవస్థ అసంపూర్ణమయి తీరుతుంది.

ఈ అసంపూర్ణ సిద్ధాంతాలకీ కంప్యూటర్లకీ సంబంధం ఏమిటి? గూడెల్ పేపరు ప్రచురితమయేనాటికి కంప్యూటర్లు లేవు; ఆ గణితవేత్తలెవరూ కంప్యూటర్ల గురించి ఆలోచించడం లేదు. Alan Turing అనే బ్రిటిష్ గణితవేత్త మాత్రం FA లాంటి క్రమబద్ధమైన వ్యవస్థలని (formal systems) సూక్ష్మంగా పరిశీలించి, వాటిలోని వివేచన కేవలం కొన్ని సంకేతాలని నియమబద్ధంగా మార్చడంతో సమానమనీ, అది యాంత్రికంగా చెయ్యవచ్చనీ భావించాడు. అలాంటి యంత్రాలని టూరింగ్ మెషీన్స్ అంటారు. అంటే ఇవి కొన్ని ఫార్ములాలతో మొదలెట్టి క్రమబద్ధమైన సూత్రాల ద్వారా కొత్త ఫార్ములాలని సృష్టిస్తాయి. ఈ యంత్రాలు కూడా సాధించలేని ఫార్ములాలు ఉన్నాయి అని టూరింగ్ చూపించాడు. ఆ విధంగా గూడెల్ సిద్ధాంతాలని మరో మార్గం ద్వారా టూరింగ్ రుజువు చేసి, హిల్బర్ట్ పథకం సాగదన్నాడు. ఆ టూరింగ్ యంత్రాల గురించీ అవి ఆధునిక కంప్యూటర్లకి ఎలా దారి తీసిందీ వచ్చే వ్యాసాలలో తెలుసుకుందాం.

నేనీ వ్యాసం రాయడానికి ఉపయోగించుకున్న గ్రంథాలు:

1. “Gödel’s Proof” by Ernest Nagel and James R. Newman. Edited and with a New Foreword by Douglas R. Hofstadter. New York University Press, 2001. గూడెల్ సిద్ధాంతాలని సామాన్యప్రజలకి మొట్ట మొదటగా పరిచయం చేసినది వీరే. ముందర 1956 లో Scientific American పత్రికలో వ్యాసం రాశారు. తర్వాత 1958 లో చిన్న పుస్తకంగా ప్రచురించారు. ఇది ప్రముఖ శాస్త్రవేత్తలెందరికో స్పూర్తినిచ్చిన పుస్తకం. అందరూ చదవదగ్గది. నా వ్యాసంలో గూడెల్ సిద్ధాంతాల నిరూపణకి ముఖ్య భాగాలు ఈ పుస్తకం నుండే తీసుకున్నాను. దీని 2001 ప్రచురణకి Hofstadter రాసిన ముందుమాట చాలా ఆసక్తికరమైనది. Hofstadter పధ్నాలుగేళ్ళ వయసులో్, వాళ్ళ నాన్నతో పుస్తకాల షాపుకెళ్ళినప్పుడు ఈ పుస్తకాన్ని చూసి ఉత్సాహపడి కొనుక్కున్నాడు. వాళ్ళ నాన్న, కొలంబియాలో Nagel క్రింద తనో ఫిలాసఫీ కోర్సు తీసుకున్నాననీ, స్నేహితులయ్యారనీ చెప్పాడు. అప్పుడే, Stanford సందర్శిస్తున్న Nagel ని పరిచయం చేసుకొని Hofstadter కుటుంబ మిత్రులయ్యారు.
2. “Gödel, Nagel, Minds and Machines,” Ernest Nagel lecture given at Columbia University by Solomon Feferman on September 27, 2007. Nagel and Newmanల పై పుస్తకాన్ని ప్రచురించడంలో Nagelకీ Gödelకీ మధ్య జరిగిన గొడవతో పాటు, యంత్రానికీ మనిషి మేధకీ, గణిత సిద్ధాంతాలని కనుక్కోవడంలో గల భేదాలూ, వాటి మీద గూడెల్ సిద్ధాంత ప్రభావం గురించీ చేసిన ప్రసంగం.
3. “Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid,” by Douglas R. Hofstadter. Vintage Book Edition, May 1989. Copyright 1979 by Basic Books. Pulitzer బహుమతి నందుకున్న పుస్తకం. గూడెల్ పేరు సామాన్యప్రజలకి తెలియడానికి ఇదే కారణం. సంగీతం, చిత్రలేఖనంతో ముడిపెట్టి మనోరంజికంగా చేసిన ప్రయత్నం. గూడెల్ సిద్ధాంతాన్ని వివరించడానికి ఓ కొత్త Formalized Arithmetic భాష, Topographical Number Theory (TNT)ని, ప్రవేశపెట్టాడు. అభ్యాసానికి సమస్యలనీ, ఉదాహరణలనీ ఇచ్చి గూడెల్ నిరూపణ వంటబట్టడానికి చేసిన మంచి ప్రయత్నం.
4. “A Profile of Mathematical Logic” by Howard DeLong. Dover Publications, New York, 1970. అనాది కాలం నుండి, ఆధునిక కాలందాకా తర్కం ఎలా వృద్ధి చెందినదీ, చారిత్రక వివరాలతో, విషయం పలచబడకుండా చక్కగా వివరించి ఉత్కంఠతో చదివించే పుస్తకం. హైస్కూలు గణితం వచ్చిన వాళ్ళు కూడా చదివి చాలావరకు అర్థం చేసుకోవచ్చు. Nagel and Newman పుస్తకంతో పాటు తనకు స్ఫూర్తినిచ్చిన వాటిల్లో ఇదీ చాలా ముఖ్యమైనదని Hofstadter అన్నాడు.
5. “Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel” by John W. Dawson, Jr. A K Peters, 1997. గూడెల్ సంపూర్ణ రచనలని పోగుచేసినవారిలో రచయిత ఒకరు కనుక విషయం గురించి చక్కని అవగాహన కలవాడు. ఇది గూడెల్ సాధికారిక జీవితచరిత్ర.
6. “Gödel Upsets the Applecart” in “The Universal Computer: The Road from Leibniz to Turing” by Martin Davis. W. W. Norton and Company, 2000. నా వ్యాస పరంపరకి స్ఫూర్తిదాయకమైన పుస్తకం. గూడెల్ నిరూపణని ఈ అధ్యాయంలో పైపైన మాత్రమే వివరించాడు. కాస్త లోతుగా వెళ్ళాలంటే చివరి నోట్స్ చదవాలి.
7. “Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Godel” by Rebecca Goldstein. WW Norton & Company, 2005. విస్మయపరచే గూడెల్ సిద్ధాంతాలనీ, అతని విపరీత మనస్తత్వాన్నీ కలపోసిన రచన.
8. “From Frege to Godel: A Sourcebook in Mathematical Logic, 1879-1931” by Jean van Heijenoort. Harvard University Press, 2002. తార్కిక గణితంలో ప్రఖ్యాత పేపర్లు, గూడెల్ పేపరుతో కలిసి, దీనిలో ఉన్నాయి. ఇది స్పెషలిస్టుల కోసమయినా, మూలరచనలకి రచయిత చేసిన పరిచయాలు సామాన్యపాఠకులకి ఆసక్తిని కలిగిస్తాయి.
9. “Fashionable Nonsense: Postmodern Intellectuals’ Abuse of Science” by Alan Sokal and Jean Brickmont. Picador, 1998. కొందరు సాహిత్య, సామాజికవేత్తలు, సైన్సు సిద్ధాంతాలని సరిగా అర్థం చేసుకోకుండా, ఏకరువు పెట్టి ప్రజలని తప్పుద్రోవ పట్టిస్తున్నారని దుయ్యబట్టిన పుస్తకం. పోస్ట్ మోడర్నిజం పేరిట Julia Kristeva, మరి కొందరు మేధావులు గూడెల్ సిద్ధాంతాలని అనవసరంగా ఉటంకించిన అనేకానేక వ్యర్థ రచనలని దీంట్లో తప్పుబట్టారు.
10. “Godel’s Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse” by Torkel Franzén. A K Peters Ltd, 2005. గూడెల్ అసంపూర్ణ సిద్ధాంతాలకి శాస్త్రవేత్తలు కూడా తమకిష్టమొచ్చినట్లుగా అర్థాలు చెప్పి వక్రీకరిస్తున్నారని, వాటిని వివరించే పుస్తకం. ఇది సామాన్య పాఠకులకి అర్థం కావడం కష్టం.
11. “The IAS School of Mathematics” by Allyn Jackson. Notices of the AMS, Volume 49, Number 8, September 2002. సంస్థ స్థాపన మీదా, అప్పుడూ ఇప్పుడూ అక్కడ జరిగే పరిశోధనల గురించీ వ్యాసం.
12. “Science and Technology; Geniuses in Plato’s Sandbox” by Jonathan Weiner. NYT Book Review of WHO GOT EINSTEIN’S OFFICE? Eccentricity and Genius at the Institute for Advanced Study. By Ed Regis.