సమన్వయ సహాయసిద్ధాంతం (Correspondence Lemma): సంఖ్యా గణితంలో కూడికలు, హెచ్చవేతలు, ప్రధాన సంఖ్యలు, మొదలైన వాటి గురించి అనంతమైన వాస్తవాలు ఉన్నాయి – ’10 సరి సంఖ్య’, ’21 ప్రధాన సంఖ్య కాదు’, ‘ఏడో ప్రధాన సంఖ్య 17’, ఇలా. వీటిని ప్రాధమిక పునరావృత్త సత్యాలు (primitive recursive truths) అంటారు. ప్రాధమిక పునారావృత్త అంటే స్థూలంగా ఇలా చెప్పొచ్చు: కొన్ని ప్రాధమిక సూత్రాలతో, పునారావృత్తమయే పరిమితమైన గణనతో చేసేవని అర్థం. ఉదాహరణకి, హెచ్చవేతలని ఇలా వర్ణించవచ్చు:

x . 0 = 0

x . Sy = x .y + x ; దీని అర్థం – x times successor of y equals x times y plus x

ఉదాహరణకి, 7 X 3 విలువని ఎలా కనుక్కుంటామో చూడండి: 7 . 3 = 7 . S2 = 7 . 2 + 7 = 7 . S1 + 7 = (7 . 1 + 7) + 7 = (7 . S0) + 7 + 7 = (7 .0) + 7 + 7 + 7 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21. పైన ఉన్న రెండో ఫార్ములాని పదేపదే వాడి చివరకి, విలువని సాధించాం. గూడెల్ కనుగొన్న గొప్ప విషయం, కూడికలు, హెచ్చవేతలు, ప్రధాన సంఖ్యలు మొదలైన వాటిని గురించిన IAలో గల సంఖ్యాసూత్ర సత్యాలకన్నిటికీ సమతుల్యమైన ఫార్ములాలని FA భాషలో రాబట్టగలమని చూపెట్టాడు. అది ఎలా చేశాడో ఇక్కడ వివరించడం సాధ్యం కాదు కాని, గుర్తించవలసిందేమిటంటే, IAకీ FAకీ అవినాభావ సంబంధం ఉంది.

దీనిని కాస్త జాగ్రత్తగా పరిశీలిద్దాం. కొన్ని సంకేతాలతో ఫార్ములాలతో మొదలెట్టి వాటినుండి కొత్త ఫార్ములాలని సృష్టించే నిర్ణితమైన పరిమిత సూత్రాలతో FA భాషని నిర్వచించాం. FA భాష వాస్తవానికి మారుస్తున్నది పదబంధాలని ఒక రూపం నుండి మరో రూపానికి. కాని IA భాష అయిన సంఖ్యా గణితంలోని కొన్ని సిద్ధాంతాలకీ FA భాషలోని ఆ రూపాలకీ గూడెల్ సమన్వయం చూపించాడు.

గణితంలో సారూప్యం (Mapping in Mathematics): గణిత శాస్త్రాలలో ఒక భాగం నుండి మరో భాగానికి అన్వయం చూపించి సమస్యలని సాధించడం సర్వసాధారణం. బీజగణితాన్ని రేఖాగణితానికి అన్వయించి వికాస యుగంలో యూరప్ విజ్ఞానశాస్త్రాలలో గొప్ప ప్రగతి సాధించిందని తెలుసు. ఉదాహరణకి రేఖాగణితంలో బిందువుని, (x, y) నిరూపకాలు (coordinates)గా, సరళరేఖని ఓ సమీకరణం (equation)గా, వృత్తాన్ని మరో రకం సమీకరణంగా అభివర్ణించి లెక్కలు చెయ్యడం చాలా సులువు. రెండు రేఖలు ఎక్కడ కలుసుకుంటాయి అని అడిగితే, x, y, లతో రెండూ సమీకరణాలు వేసి ఠకీమని చెప్పవచ్చు.

గూడెల్ సంఖ్యలు

MA భాషలో FA లోని ఫార్ములాల ఆకృతి గురించి చెప్పే విషయాలని, సంఖ్యాపరంగా అన్వయించి చెప్పవచ్చని చూపెట్టడం గూడెల్ అద్భుత మేధకో తార్కాణం. FA లోని ఫార్ములాలని సంఖ్యలతో అన్వయించి ప్రతి సంకేతానికీ ఈ క్రింది పట్టికలో ప్రకారం ఓ సంఖ్యనిచ్చాడు:

పట్టిక 2. గూడెల్ సంఖ్యలు

సంకేతం	గూడెల్ సంఖ్య
~	1
∨	2
⊃	3
∃	4
∀	5
0	6
S	7
(	8
)	9
=	10
+	11
.	12

ఇలా ప్రతి సంకేతానికీ ఓ సంఖ్యని నిర్దేశించి, అనేక సంకేతాలున్న ఫార్ములాకి సంఖ్య కనుక్కోడానికి ఓ మార్గం చెప్పాడు: ఆ ఫార్ములాలోని ప్రతి సంకేతానికీ, దాని స్థానానికి సంబంధించిన ప్రధాన సంఖ్యని ఆ సంకేతపు గూడెల్ సంఖ్యని ఘాతాంశంగా తీసుకోవాలి. ఆ విధంగా ప్రతి సంకేతానికీ వచ్చే విలువని హెచ్చిస్తే ఫార్ములాకి కావలసిన సంఖ్య వస్తుంది. ఇది తెలుగులో చెప్పడానికి కాస్త గజిబిజిగా ఉంది కాని ఓ ఉదాహరణతో సులభంగా అర్థమవుతుంది.

ప్రధాన సంఖ్యలు ఈ వరుసలో, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …., అనంతంగా ఉన్నాయని గుర్తు తెచ్చుకోండి. ‘0 = 0’ అన్న ఫార్ములాని తీసుకుందాం. ఈ ఫార్ములాలో మూడు సంకేతాలున్నాయి – సున్నా, సమానపు గుర్తు, సున్నా. మొదటి మూడు ప్రధాన సంఖ్యలు, 2, 3, 5. ఫార్ములా లోని మూడు సంకేతాలకీ (సున్నా, సమానం, సున్నా) పై పట్టిక నుండి వరుసగా గూడెల్ సంఖ్యలు: 6, 10, 6. ఆఫార్ములాకి గూడెల్ సంఖ్య: 2⁶ x 3¹⁰ x 5⁶ = 59, 049, 000, 000. ఇంత చిన్న ఫార్ములాకి అంత పెద్ద సంఖ్యా అని ఆశ్చర్యపోకండి. ఆ సంఖ్యని కనుక్కునే విధానం సులభంగానూ, నిర్దుష్టంగానూ ఉందని మాత్రం గ్రహించండి.

మరో ఫార్ములా, ~(S0 = SS0). దీని గూడెల్ సంఖ్యని కనుక్కోడానికి, ఫార్ములా లోని తొమ్మిది సంకేతాలకి సరిపడా, మొదటి తొమ్మిది ప్రధాన సంఖ్యలని – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 – తీసుకొని, ఆ సంకేతాల గూడెల్ సంఖ్యలు – 1, 8, 7, 6, 10, 7, 7, 6, 9 – తో ఇలా హెచ్చించాలి: 2¹ x 3 ⁸ x 5 ⁷ x 7⁶ x 11¹⁰ x 13⁷ x 17⁷ x 19⁶ x 23⁹. ఇది మనం ఊహించలేనంత పెద్ద సంఖ్య. కానీ ఆ విషయం మనకనవసరం. ఏ ఫార్ములా ఇచ్చినా దానికి సరిపడా గూడెల్ సంఖ్య కనుక్కోగల మన్నదే ముఖ్యం. మరో విషయం. గూడెల్ సంఖ్య ఇస్తే దాని నుండి ఫార్ములాని రాబట్టగలం కూడాను!

ఓ సిద్ధాంతం నిరూపించడానికి మొదట ఓ ఫార్ములాతో మొదలెట్టి మెట్లు మెట్లుగా క్రమబద్ధమైన సూత్రాలని పాటిస్తూ ఫార్ములాలని మార్చి చివరకి రావలసిన సిద్ధాంతాన్ని రాబడతాము. ఆ క్రమ వరుసలో వున్న ఫార్ములాలని కలిపితే అది ఆ వరుసలోని చివరి ఫార్ములాకి నిరూపణ. ప్రతి ఫార్ములాకి గూడెల్ సంఖ్య ఎలా కనుక్కోవచ్చో పైన తెలుసుకున్నాం. f1, f2, f3, … ఇవి వరుసగా ఆయా ఫార్ములాల గూడెల్ సంఖ్యలని సూచిస్తే, వాటినన్నిటినీ ఈ విధంగా వరుసగా ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యలకి ఘాతాంశాలుగా రాసి హెచ్చిస్తే వచ్చే సంఖ్య – 2^f1 X 3^f2 X 5^f3 x 7^f4 X … – దానిని ఆ ఫార్ములా వరుస (నిరూపణ) గూడెల్ సంఖ్య అంటాం.

ఒక్కసారి అవలోకన చేసుకుందాం: FA లోని ప్రతి సంకేతానికీ ఓ గూడెల్ సంఖ్య ఇచ్చాం. ఓ ఫార్ములాలో ఉన్న సంకేతాలు, వాటి స్థానాలని బట్టి, ప్రధాన సంఖ్యల ఆధారంగా, ఫార్ములాకి సంఖ్య కనుక్కోగలం. అలాగే ఫార్ములాల వరుసకి గూడెల్ సంఖ్యని కనుక్కోగలం. గూడెల్ సంఖ్యలలో ఉన్న ఓ ముఖ్యమైన గుణం – గూడెల్ సంఖ్యని తీసుకొని అది ఏ ఫార్ములాలని, వాటిల్లో ఏ వరుసలో ఏ సంకేతాలు ఏ స్థానంలో వస్తాయో ఖచ్చితంగా తెలుసుకోవచ్చు!