విషాదంలో ముగిసిన జీవితం
రిటైర్మంట్ వయసు దగ్గరపడేటప్పటికి, గూడెల్ మానసిక ఆరోగ్యం బాగా దెబ్బతిన్నది. ఐన్స్టయిన్, ఫాన్ నోయ్మన్ల మరణంతో తనకి చేదోడు వాదోడుగా ఉన్న కొద్దిమంది మిత్రులనూ కోల్పోయాడు. డిప్రెషన్ పెరిగింది. భార్యనీ, ఒక మిత్రుడినీ తప్ప ప్రతివాళ్ళనీ అనుమానించడం మొదలెట్టాడు – తనని చంపడానికి ప్రయత్నిస్తున్నారని! డాక్టర్లను అసలే నమ్మేవాడు కాడు. తీసుకునే ఆహారం చాలా తగ్గిపోయింది. తినే ప్రతిదీ, భార్య రుచి చూసి ఇస్తే గాని తినేవాడు కాదు. దాంట్లో ఎవరైనా విషం పెట్టారేమోనని భయం! ఇంతలో భార్య అనారోగ్యం పాలయి ఆసుపత్రిలో చేరింది. గూడెల్కి నమ్మకంగా సేవ చేసేవాళ్ళు లేరు. ఆహారంలో విషం పెట్టారేమోనని శంకతో పస్తులుండేవాడు. మనిషి చిక్కి శల్యమయ్యాడు. ఆకృతి అస్థిపంజరంలా తయారయింది. భార్య వత్తిడితో ఆసుపత్రిలో చేర్చేటప్పటికి బాగా ఆలస్యమయింది. డాక్టర్లు చెయ్యగలిగిందేమీ లేదు. అలా తన మానసిక రుగ్మతల మూలంగా, తన శరీరాన్ని తనే హింసించుకొని, గత శతాబ్దపు గొప్ప మేధావులలో ఒకడైన గూడెల్ 1978 జనవరి 14న చనిపోయాడు. మరో రెండేళ్ళకి భార్య కూడా మరణించింది.
స్ఫూర్తినిచ్చిన వితర్కాలు
హిల్బర్ట్ పథకం సంఖ్యా శాస్త్రం సంపూర్ణమనీ, వైరుధ్య రహితమనీ రుజువు చెయ్యడం. గూడెల్ అది అసాధ్యమని రుజువు చేశాడు! అందుకు అతనికి రెండు పారడాక్సులు దోహదం చేశాయి.
అసత్యవాది వితర్కం (Liar’s Paradox)
రెండువేల సంవత్సరాల క్రితం గ్రీకులు గణితంలో అద్భుతమైన ఆలోచనలు చేశారు. మనం చిన్నప్పుడు చదువుకున్న రేఖాగణితం వాళ్ళదే. ఆ కాలంలోనే కొందరు గ్రీకులు నిత్యజీవితంపై వాదోపవాదనలు చేసి అబ్బురపరచేవారు. వారిలో తిమ్మిని బమ్మి, బమ్మిని తిమ్మి చేసేవారని సోఫిస్టులకి పేరు వచ్చింది. ఆ వాదనలలో కొన్ని వైరుధ్యాలు ఇబ్బంది కలిగించేవి. జీనో పారడాక్స్ గురించి ఇంతకుమునుపు ఒక వ్యాసంలో చెప్పాను. ఆ కాలంలోనే వచ్చిన మరో పారడాక్స్ అసత్యవాది వితర్కం. దాని గురించి బైబిల్లో ఒకచోట, సెయింట్ పాల్ అంటాడు: One of themselves, a prophet of their own, said, “Cretans are always liars, wily beasts, lazy gluttons”. This testimony is true. [Titus I: 12-13].
సెయింట్ పాల్ ఆ వాక్యంలోని తర్కాన్ని గుర్తించాడో లేదో కాని అదే వాక్యం రెండు వేల సంవత్సరాల తర్వాత కూడా తార్కిక గణితాన్ని ప్రభావితం చేసింది. పై వైరుధ్యాన్ని ఈ చిన్న వాక్యం ద్వారా గ్రహించవచ్చు: “ఈ వాక్యం అబద్ధం” అన్నది నిజమైతే, తన గురించి తను చెప్పుకున్నది నిజమన్న మాట; మరి తన గురించి తను ఏం చెప్తున్నది? తను అబద్ధమని! పోనీ, ఈ వాక్యం అబద్ధం అనుకుందాం. అంటే తనను గురించి తను చెప్తున్నది అబద్ధం; ఆ మాటేగదా ఆవాక్యం చెప్పేది. అంటే ఆ వాక్యం నిజం!
ఆ వాక్యం నిజమనుకుంటే అబద్ధమనీ, అబద్ధమనుకుంటే నిజమనీ తేలుతున్నది! అదీ వైరుధ్యం. మనం నిత్య జీవితంలో వాడే భాషలో ఇలాంటి వైరుధ్యాలున్నాయి. కానీ గణితంలో ఇలాంటి వైరుధ్యాలుంటే మొత్తం గణిత వ్యవస్థే కుప్పకూలిపోతుంది.
రిచర్డ్ వితర్కం (Richard Paradox)
1905 లో జూల్స్ రిచర్డ్ (Jules Richard) సంఖ్యాగణితానికి సంబంధించిన ఓ పారడాక్స్ని కనుక్కున్నాడు. సంఖ్యల్లో అనేక గుణాలున్నాయి. ప్రతి గుణానికీ ఓ పేరు పెట్టి, వాటినన్నిటినీ తెలుగు వరుసలో రాద్దాం:
1 ప్రధాన (Prime)
2 బేసి (Odd)
3 వర్గ (Cube)
4 సరి (Even)
5 సంయుక్త (Composite)
6 …
7 …
పట్టికలో ప్రతి గుణానికీ దాని స్థానాన్ని బట్టి ఓ విలువ ఉంటుంది; దానిని గుణానికి ఎడమ వైపున సంఖ్యగా గమనించండి. ఉదాహరణకి, వర్గ గుణం మూడో స్థానంలో ఉంది. అయితే స్థాన విలువ కూడా ఒక సంఖ్యే కదా. ఆ సంఖ్యకి ఆ పట్టిక వరుసలోని గుణం ఉండొచ్చు, లేకపోవచ్చు. ఇప్పుడు మనమో కొత్త గుణాన్ని, రిచర్డ్ గుణాన్ని, నిర్వచిద్దాం: స్థాన విలువ సంఖ్యకి పట్టిక వరుసలోని గుణం లేకపోతే ఆ సంఖ్యని రిచర్డ్ సంఖ్య అని పిలుద్దాం. పై పట్టికలో 2 రిచర్డ్ సంఖ్య, ఎందుకంటే 2 బేసి సంఖ్య కాదు కనుక.
అన్ని గుణాలూ పట్టికలో రావాలి కనుక రిచర్డ్ గుణం కూడా ఈ పట్టికలో ఎక్కడో ఒకచోట, నిఘంటువు వరుస ప్రకారం, రావాలి. ఆ స్థాన విలువని N అనుకుందాం. ఇప్పుడో ప్రశ్న: N రిచర్డ్ సంఖ్యా? కాదా?
అది రిచర్డ్ సంఖ్య అయితే, ఆ స్థానంలోని గుణం దానికి ఉండకూడదు. కాని ఆ గుణం రిచర్డ్ గుణం. అంటే, అది రిచర్డ్ సంఖ్య అయితే దానికి రిచర్డ్ గుణం లేదు, అంటే అది రిచర్డ్ సంఖ్య కాదు! అది రిచర్డ్ సంఖ్య కాకపోతే, ఆ స్థానంలోని గుణం దానికుండాలి, కాని ఆ గుణం రిచర్డ్ గుణం; అంటే అది రిచర్డ్ సంఖ్య!
N రిచర్డ్ సంఖ్య అయితే కాదనీ, కాదంటే అవుననీ తీర్చాం!ఈ వైరుధ్యానికి కారణం ఏమిటి? సంఖ్యల గుణాల గురించి మాట్లాడుతూ, కొత్త గుణం – సంఖ్యలకి సంబంధించనిది, గుణాల స్థానానికి సంబంధించిన గుణాన్ని తీసుకొచ్చి – కలిపి మాట్లాడటం ఈ వైరుధ్యానికి కారణం.
ఈ పారడాక్సులు రెండిటినీ దృష్టిలో ఉంచుకొని వాటికన్నా పకడ్బందీగా వైరుధ్యాలు లేని ఓ ఫార్ములాని తయారుచేశాడు గూడెల్.
గూడెల్ అసంపూర్ణ సిద్ధాంత సారాంశం
గూడెల్ నిరూపించిన విధానం విశిష్టమైనది; అసలు అది నిరూపణేనా అని అనుమానం కలిగించేది. విశదంగా చూస్తే అది గూడెల్ మేధకి అద్దం పట్టి అబ్బురపరచేది. గూడెల్ నిరూపణని అంచెలంచెలుగా చెప్పడానికి ప్రయత్నిస్తాను. సైన్సు వ్యాసాలలో సంకేతాలూ, సమీకరణాలూ ఉంటే పాఠకులు చదవరని అందరిలాగే నాకూ భయం. ముందర, మరీ లోతుల్లోకి వెళ్ళకుండా గూడెల్ నిరూపణ చూచాయగా చెప్తాను. తర్వాత కాస్త నిర్దుష్టంగా విపులీకరిస్తాను – కొందరికైనా కుతూహలం పెరిగి వ్యాసం చివర ఇచ్చిన పుస్తకాలని సంప్రదిస్తారని నా ఆశ.
ఫార్ములాల భాష ఒకటుందనుకోండి. దాంట్లోని ఫార్ములాలలో ఒకటి: ‘ఈ ఫార్ములాని నిరూపించలేము’. ఇది ఓ సామాన్య వాక్యం కదా, ఫార్ములా ఎలా అవుతుంది అని అనుమానం వచ్చిందా? ప్రస్తుతానికి ఫార్ములా అంటే కొన్ని సంకేతాల సముదాయం అనుకోండి. అసత్యవాది వైరుధ్యంలోని వాక్యానికీ, దీనికీ గల తేడా గమనించండి. నిజమా కాదా అనకుండా, నిరూపించగలమా లేదా అని వాడదాం.
- పై వాక్యం నిజమైతే, మనం నిరూపించలేని ఫార్ములాలు కొన్ని (కనీసం ఒకటి) ఉన్నాయి.
- పై వాక్యం అబద్ధమైతే, ఆ ఫార్ములాని నిరూపించగలం.
- ఫార్ములాని నిరూపించగలిగితే, ఆ వాక్యం అబద్ధం.
- ఫార్ములాని నిరూపించలేకపోతే, ఆ వాక్యం నిజం.
నిజమైతే నిరూపించలేం; నిరూపించలేకపోతే, నిజం! True if and only if not provable. ఇంతకు మునుపటి పారడాక్స్ల లాగా దీంట్లో వైరుధ్యమేమీ లేదు. కాని ఈ వాదన ప్రకారం, నిరూపించలేని నిజాలున్నాయి!
ఇది హిల్బర్ట్ పథకానికి గొడ్డలిపెట్టు. కాని పై వాదన చూచాయగా ఉందేకాని నిర్దిష్టంగా లేదు; దానిని నిరూపణగా గణితవేత్తలు ఒప్పుకోరు. అయితే గూడెల్ చాలా కట్టుదిట్టంగా నిరూపించాడు. అతని పేపర్లు చదవడానికి కష్టమయినా, ఎంతో జాగ్రతగా రాసినవి; కరాఖండితంగా ఉంటాయి; స్పష్టతకీ, శ్రద్ధకీ మచ్చుతునకలు. ఇప్పుడు ఇంకాస్త లోతుగా గూడెల్ నిరూపణని పరిశీలిద్దాం.