హిల్బర్ట్ ప్రణాళిక – క్రోడీకరణ (Hilbert Program – Formalism)

కేంటర్ సమితుల సిద్ధాంతంతో కొన్ని వైరుధ్యాలొచ్చాయని “అనంతాలలో కేంటర్ చూపిన వైవిధ్యం, రేపిన సంక్షోభం” వ్యాసంలో తెలుసుకున్నాం. “అన్ని సమితులూ ఉన్న సమితి” లాంటి భావాలను బహిష్కరించడం ద్వారా వాటిని నివారించవచ్చునని హిల్బర్ట్ విశ్వసించాడు. అలాంటి భావనలు లేని గణితం సంపూర్ణమనీ (complete), వైరుధ్యరహితమనీ (consistent) అతను నమ్మాడు. కాని అలాంటి నమ్మకాలు తప్పయిన సందర్భాలు గణిత చరిత్రలో ఉన్నాయి.

గణితపు పునాదులని పరిశోధించడానికి హిల్బర్ట్ వేరే భాష నొకదానిని ప్రతిపాదించాడు. ఆ భాషలో, మనం మాట్లాడుకునే భాషలో లాగానే ఓ పదకోశం (vocabulary) ఉంటుంది. ఈ పదకోశాన్ని ఖచ్చితంగా నిర్వచించవచ్చు:

1. కొన్ని పదాలు (a list of variables)
2. వాటిని రకరకాలుగా కలపడానికి సంకేతాలు: If … then … అన్నదానిని ⊃తో, మరియు (and) ని ⋀ తో, లేక (or) ⋁ని తో, ఖండించడాన్ని (not) ¬.
3. సమానత్వానికి గుర్తు: =
4. ∀, ∃అని రెండు ప్రత్యేక సంకేతాలు. (∀x) అంటే for all x – సార్వత్రిక రాశివాచకం (universal quantifier). (∃x) అంటే there exists x such that – అస్తిత్వ రాశివాచకం (existential quantifier).
5. గణితశాస్త్రానికి సంబంధించిన మౌలిక భావాల సంకేతాలు: రేఖాగణితమయితే, బిందువు, రేఖ, వాటి సంకేతాలు; సంఖ్యా గణితమయితే, 0, +, x.

పై పదకోశంతో మనం ఓ గణితశాస్త్రాన్ని (రేఖా గణితాన్నో, సంఖ్యా గణితాన్నో) క్రోడీకరించవచ్చు. ఆ గణితశాస్త్రాన్ని T అనీ, దానికి సంబంధించిన భాషని L అనీ పిలుద్దాం. T లోని నిర్వచనాల(definitions)నీ, స్వయంసిద్ధ సూత్రాల(axioms) నీ, సిద్ధాంతాల(theorems)నీ L లో వ్యక్తపరచవచ్చు – పై పదకోశం ద్వారా. అంతే కాదు, T లోని ప్రతి నిరూపణని (proof) కూడా L లో వ్యక్తపరచవచ్చు. (నిరూపణలో ప్రతి మెట్టుకీ వాడే వివేచనా సూత్రాలు కూడా పై పదకోశంతో వ్యక్తీకరించగలం కనుక.)

L లో వ్యక్తపరచేవన్నీ స్పష్టంగా వివిధార్థాలు లేకుండా ఉంటాయి. కానీ, L లో వ్యక్తీకరించినవాటి అర్థం భాషకి సంబంధించినదే కాని గణితపరమైనది కాదు. దీనికో ఉదాహరణ: 2 + 3 = 5 అన్నది T లో రెండు, మూడు కలిపితే అయిదు వస్తుందన్న సంఖ్యాగణిత యదార్థాన్ని తెలిపేది. అదే L లో వ్యక్తీకరించినప్పుడు, ’2 + 3 = 5’ అన్నది కేవలం ఓ వ్యాకరణబద్ధమైన పదసమూహమే కాని అదేదో కూడికకి సంబంధించిన సూత్రమని కాదు! ఈ తేడా స్పష్టమయితే కాని హిల్బర్ట్ ప్రణాళిక అర్థమవదు; కాబట్టి పైది మరో సారి చదవండి.

దీనివలన ఉపయోగమేమిటి? ఆసక్తికరమైన, నలుగురికీ ఉపయోగపడే సిద్ధాంతాలని T లో కన్నా L లోనే కనుగొనగలమా? అంటే ఎంత మాత్రమూ కాదు. నిజానికి L లో గణితపరమైన అర్థంతో మాట్లాడలేం కనుక అది అందుకు పనికిరాదు. మరీ క్రోడీకరణ ఎందుకు?

తెలుగు భాషలో వ్యాకరణ సూత్రాల ప్రకారం వాక్యాలు రాస్తాం. రాముడు, లక్ష్మణుడు బడికి వెళ్ళాడు అన్న వాక్యం తెలుగు భాషలో సాధ్యమా అని ప్రశ్నిస్తే, కాదు అని ఘంటాపథంగా చెప్పగలం. అలాగే, L లో “౦ <> ౦” అన్న పదసమూహం సాధ్యమా? అని ప్రశ్నిస్తే, అవునో కాదో చెప్పగలమా? చెప్పగలం అని హిల్బర్ట్ ఆశ. (మరో సారి T కీ L కీ గల తేడాని గుర్తు తెచ్చుకుందాం: ఆ పద సమూహం అర్థం T లో సున్నా సున్నాకి సమానం కాదు అని. అదే L లో అర్థం తో నిమిత్తం లేకుండా, సంకేతాలతో – 0 తర్వాత <, దాని తర్వాత >, దాని తర్వాత 0 – కూర్చిన ఓ పద సమూహం.)

ఇది చాలా కీలకమైన ప్రశ్న. తెలుగు భాష వ్యాకరణం ప్రకారం పై వాక్యం సాధ్యమో కాదో చెప్పగలిగినట్లే, L లో పై పద సమూహం సాధ్యమో కాదో చెప్పగలమా?

సాధ్యం అని చూపెడితే, T లో గణితశాస్త్రాల ఆధారంగా కూడా 0 <> 0 అని తేలినట్లు! (T సూత్రాలని క్రోడికరిస్తేనే కదా L ఏర్పడింది.) అంటే T లో వైరుధ్యాలున్నాయని నిరూపించినట్లు. సాధ్యం కాదు అని చూపెడితే, T లో 0 <> 0 అసాధ్యం అని నిరూపించినట్లు. అంటే T లో వైరుధ్యాలు లేవని నిరూపించినట్లు.

ఒక వైరుధ్యం లేదని చూపెడితే మరో వైరుధ్యం లేదని నమ్మడమెట్లా? ఒక వైరుధ్యం ఉంటే, ఇక మని పని అయిపోయినట్లే – మనం ఏది కావలంటే అది నిరూపించవచ్చు. (దీని గురించి రస్సెల్ చమత్కారమొకటి చెప్తాను. 1 = 2 అయితే నువ్వూ, పోపూ (Pope) సమానమని చూపెట్టగలవా అని ఎవరో ఒక ప్రశ్న వేశారు. అది చాలా సులభం: పోపూ నేనూ ఇద్దరం. రెండూ ఒకటీ సమానమవడాన, పోపూ నేనూ ఒకటే! అన్నాడట.) గణితంలో ఏ వైరుధ్యమున్నా అది 0 <> 0 అన్న వైరుధ్యానికి దారి తీస్తుంది. ఒక గణితంలో 0 <> 0 అసాధ్యం అని నిరూపిస్తే, ఆ గణితంలో వైరుధ్యాలు లేవని నిరూపించినట్లే!

మరో ముఖ్యమైన నియమం. ఈ నిరూపణకి, సహజ జ్ఞాన సిద్ధాంత వాదులు వాడే మార్గాలని మాత్రమే వాడాలి. ఆ విధంగా వాళ్ళ నియమాలకి కట్టుబడే, సంఖ్యా గణితం వైరుధ్య రహితమని నిరూపించి, వాళ్ళ నోరు మూయించవచ్చునని హిల్బర్ట్ నమ్మాడు.

దీంట్లో హిల్బర్ట్ విజయవంతుడవుతాడనే అనుకున్నారు. గణితవేత్తలు అప్పటికే తార్కిక గణితంలో ఓ భాగమయిన First Order Predicate Logic ని క్రోడీకరించి, హిల్బర్ట్ ఆశించినట్లు అది వైరుధ్యరహితమని నిరూపించారు. ఇంకొన్నేళ్ళలో సంఖ్యాగణితం కూడా అలాగే వైరుధ్యరహితమని నిరూపించగలరని హిల్బర్ట్‌తో పాటు చాలా మంది నమ్మారు. బ్రోవర్‌కి ఈ ప్రణాళికలో అసలు నమ్మకమే లేదు. హిల్బర్ట్ సఫలీకృతుడయితే కావొచ్చు కాని, ఇది కేవలం గణితాన్ని ఓ ఆటగా మార్చేస్తుందనీ, కోర్టు రుజువు చేసినా చెయ్యకపోయినా, నేరం నేరమే అని బ్రోవర్ వాదించాడు.

హిల్బర్ట్ వ్యక్తిత్వం

సహజ జ్ఞాన సిద్ధాంతవాదులకీ (intuitionists), క్రోడీకరణ వాదులకీ (formalists) మధ్య బహిరంగ యుద్ధం జరిగింది. అప్పుడు ప్రపంచంలో నెలకొని వున్న యుద్ధ వాతావరణం గణిత సమావేశపు ఉపన్యాసాలలో కూడా ప్రతిధ్వనించింది. కానీ హిల్బర్ట్ శాంతి కాముకుడు. నైతిక విలువలకి ప్రాధాన్యత ఇచ్చినవాడు. మొదటి ప్రపంచ యుద్ధం తెలివితక్కువ అని ప్రకటించాడు. తన దేశమైన జర్మనీని గుడ్డిగా బలపరచలేదు. 1917 లో శత్రుదేశమైన ఫ్రెంచి గణితవేత్త జాఁ గాతోఁ దార్బూ (Jean Gaston Darboux) చనిపోతే స్మారక సందేశాన్ని ప్రచురించాడు. అది చూసి హిల్బర్ట్ ఇంటి ముందు జర్మన్ విద్యార్థులు శత్రుదేశపు గణితవేత్తని శ్లాఘించడం దేశద్రోహమని నిరసిస్తూ ప్రదర్శన చేశారు. ఆగ్రహించిన హిల్బర్ట్, తనకు సంజాయిషీ ఇవ్వకపోతే రాజీనామా చేస్తానని బెదిరించాడు. వాళ్ళు వెంటనే క్షమాపణ కోరుకున్నారు.

యుద్ధ సమయంలో ఎమ్మీ నోయ్‌థర్ (Emmy Noether) అన్న ఓ యువతి గోటింగెన్ లో లెక్చరరుగా ఉద్యోగానికి దరఖాస్తు పెట్టింది. స్త్రీలలో గణనీయమైన గణిత పరిశొధనలు చేసినవారిలో ఈవిడకి ప్రథమ స్థానం ఉంది. జర్మనీలో స్త్రీలకు డాక్టరేట్ ప్రదానం చేసిన మొదటి యూనివర్సిటీ గోటింగెన్. కానీ, అదే యూనివర్సిటీ ఆమెని ఉద్యోగంలోకి తీసుకోడానికి సందేహించింది. “ఓ స్త్రీని ఎలా చేర్చుకుంటాం? ఇప్పుడు లెక్చరరు అయితే, కొన్నాళ్ళకి ప్రొఫెసరు అవుతుంది. ఆ తరువాత యూనివర్సిటీ సెనెట్ లో సభ్యురాలవుతుంది. ఓ స్త్రీకి సెనెట్ లోకి ప్రవేశించే అర్హత ఉందా? యుద్ధం నుండి తిరిగివచ్చే మన విద్యార్థులు, తామొక స్త్రీ దగ్గర పాఠాలు నేర్చుకోవాలంటే ఏమనుకుంటారు?” ఈ విధంగా యూనివర్సిటీ అధికారులు, విద్యావేత్తలు తర్జనభర్జనలు పడ్డారు.

వాళ్ళందరికీ హిల్బర్ట్ “పాఠాలు చెప్పడానికి ఆడయితేనేమిటి, మగయితేనేమిటి? యూనివర్సిటీ స్నానాలగది కాదు గదా!” అని సమాధానం చెప్పాడు. అయినా, యూనివర్సిటీ అధికారులు ఆమెకి ఉద్యోగం ఇవ్వలేదు. ఆ సమస్యని హిల్బర్ట్ తనదైన మార్గంలో సాధించాడు. హిల్బర్ట్ లెక్చర్లు ఇస్తున్నట్లుగా ప్రకటించి, పాఠాలు మాత్రం న్యోటర్ చేతనే చెప్పించాడు అలా రెండేళ్ళు గడిచింతర్వాత యూనివర్సిటీ ఆమెని లెక్చరరుగా తీసుకుంది.

హిల్బర్ట్ అనారోగ్యం

హిల్బర్ట్ వైవాహిక జీవితం సాఫీగా గడిచింది. అతని భార్యే అతని పేపర్లు సాపు రాసేది. దురదృష్టవశాత్తూ వాళ్ళకు కలిగిన ఒకే ఒక కొడుకు మానసికంగా అస్థిమితకు లోనయ్యాడు. ఏ ఉద్యోగంలోనూ స్థిరపడలేకపోయాడు. దయ్యాలూ, భూతాలూ తమ కుటుంబానికి హాని తలపెడుతున్నాయని నానారకాలుగా ఊహించుకునేవాడు. విసిగిపోయిన హిల్బర్ట్ తనకసలు కొడుకే లేడనుకుంటానని విరక్తి చెందాడు. అది హిల్బర్ట్ భార్య కెంతో మనస్తాపం కలగజేసింది. ఉన్న ఒక్క సంతానాన్నీ కాదనలేకపోయింది.

1925 లో హిల్బర్ట్ ఆరోగ్యం క్షీణించింది. మరణానికి దారితీసే “పాండురోగం” (pernicious amnesia – రక్తంలో ఎర్ర కణాలు తక్కువ కావడం) అని డాక్టర్లు నిర్ధారించారు. కొన్ని నెలలకి మించి బ్రతకడన్నారు. హిల్బర్ట్ మాత్రం తనకున్నది మరీ అంత ప్రమాదకరమైన వ్యాధి కాదు, భయపడనవసరం లేదని ఆప్తులతో అనేవాడు.