ఈ సిద్ధాంతాల నిరూపణతో బ్రోవర్ మేధని హిల్బర్ట్ గ్రహించాడు. అతనిని గోటింగెన్‌కి తీసుకురావాలని ప్రయత్నించాడు. తన సంపాదకత్వంలో నడుస్తున్న ఓ గణితశాస్త్రపు జర్నల్‌లో సంపాదక సభ్యుడిగా చేర్చుకున్నాడు. బ్రోవర్‌కి హిల్బర్ట్‌పై ఎనలేని గౌరవమున్నా, అతనితో అనేక విషయాలలో విభేదించి అతనికి తలనొప్పి కలిగించాడు. తరవాత హిల్బర్ట్ నానా పన్నాగాలు పన్ని బ్రోవర్‌ని సంపాదక బృందం నించి తొలగించాడు. హిల్బర్ట్, బ్రోవర్‌ల వివాదం చివరికి అయిన్‌స్టైన్ “గణితవేత్తల మధ్య ఏమిటీ కప్పల ఎలుకల పోట్లాట” అనేదాకా వెళ్ళింది.

బ్రోవర్ తన విప్లవాత్మకమైన గణిత సిద్ధాంతాలని మళ్ళీ బయటకి తీసుకొచ్చాడు. కేంటర్ సిద్ధాంతాలతో, రస్సెల్ తర్కంతో, హిల్బర్ట్‌తో తీవ్రంగా విభేదించి గణితాన్ని సంస్కరించి సరైన మార్గంలో పెట్టడానికి నడుం కట్టాడు. ఇప్పుడు బ్రోవర్ ‘పునాదుల సిద్ధాంతం’ గురించి కొంచెం తెలుసుకుందాం.

సహజ జ్ఞాన సిద్ధాంతం (Intuitionism)

ఫ్రేగె, రస్సెల్, మొదలైన వాళ్ళు గణితం తర్కంలో ఓ భాగమని కేంటర్ సమితుల సిద్ధాంతాల ఆధారంగా చూపడానికి ప్రయత్నించారు. దీనినే తార్కికవాదం (Logicism) అంటారు. వాళ్ళు ఆ దిశగా వెళ్ళి కొన్ని వైరుధ్యాలని ఎదుర్కొన్నారు.

కేంటర్ సమితుల సిద్ధాంతం అనేక చోట్ల వాడటం, అనంత సమితులు కొన్ని వైరుధ్యాలకి దారితీయడంతో గణితపు పునాదులనే పరామర్శించవలసిన అవసరం ఉందని సహజ జ్ఞాన వాదులు అభిప్రాయపడ్డారు. వారి సిద్ధాంతం ప్రకారం, మానవునికి సహజ సంఖ్యల గురించిన అంతఃజ్ఞానం ఉంది. 1, 2, 3, …, n ఇలా ఒక్కొక్కటే మనం ఒకదాని తర్వాత ఒకటి మనస్సులో నిర్మించుకోగలం. దీనికి కారణం తత్వవేత్త కాంట్ (Kant) చెప్పినట్లు మానవునికి కాలం గురించిన భావన సహజంగానే ఉంది. దాని నుండే సహజ సంఖ్యల జ్ఞానం వస్తోంది. ఈ విధంగా ఎంత పెద్ద సంఖ్యనయినా మనసులో నిర్మించుకోగలం. కాని అనంతమైన సంఖ్యని నిర్మించలేం. అందువలన పూర్తయిన అనంతం అన్న భావనని ఈ వాదం ఒప్పుకోదు.

గణితం అంటేనే, మనసు ఈ విధంగా చేసే నిర్మాణాలు. అంతే కాని ఏవో సంకేతాలతో చేసే నిరూపణలు కాదు. గణితమే మౌలికం. అది తర్కం మీద ఆధారపడి లేదు. తార్కిక భావనలు గణితంలో భాగం – అవి నిర్మాణాత్మకమైనవి కావడాన. కాని కొన్ని తార్కిక భావనలు నిర్మాణాత్మకమైనవి కాదు. వాటిల్లో గణితవేత్తలు తరచుగా వాడేది ‘నిషిద్ధమధ్య సూత్రం’ (Principle of Excluded Middle). ఇది చాలా వివాదాలకి మూలం కనుక వివరంగా చూద్దాం.

నిషిద్ధమధ్య సూత్రం (Principle of Excluded Middle)

ఏ ప్రతిపాదననయినా తీసుకోండి. అదీ, దాని వ్యతిరేకమూ – రెండిట్లో ఏదో ఒకటే సత్యం, రెండోది అసత్యం. ‘వర్షం కురుస్తున్నది’ అన్నది సత్యమయితే, ‘వర్షం కురవడం లేదు’ అన్నది అసత్యం కావాలి. ఓ సంఖ్యని మరో సంఖ్య నిశ్శేషంగా విభజిస్తుందన్నది సత్యమన్నా కావాలి, అసత్యమన్నా కావాలి. మధ్యేమార్గం లేదు. ఇది అరిస్టాటిల్ కాలం నుండీ వివేచనకి సంబంధించినంత వరకూ అన్ని రంగాలకూ వర్తిస్తుందని అందరూ ఒప్పుకున్న మౌలిక తార్కిక సూత్రం. ఈ సూత్రాన్ని నిరూపించవలసిన అవసరం లేదు – ఇది సహజం గానే వాస్తవమని మనం అంగీకరిస్తాం.

కానీ, బ్రోవర్ దీనిని ప్రశ్నించాడు. అసలు దీనిని మనం ఎందుకు నమ్ముతున్నామో విచారిద్దాం అన్నాడు. ‘S అన్న సమితిలో P గుణం ఉన్న సభ్యురాలు ఉంది’ అన్న ప్రతిపాదనని తీసుకుందాం. ఇది పరిమితమైన సమితి (finite set) అయితే, ఆ సమితిలోని ప్రతి సభ్యురాలినీ పరిశీలించి, S లో P గుణం కలిగి ఒక్కరైనా ఉన్నారా? లేదా, అసలెవరికీ ఆ గుణం లేదా అన్నది నిర్ణయించగలం. అంటే పై ప్రతిపాదన సత్యమో కాదో తెలుసుకోగలం. దీనికి సంబంధించి మధ్యే మార్గం నిషిద్ధమంటే బ్రోవర్ ఒప్పుకుంటాడు. అందుకు కారణం (ఒక్కో సభ్యురాలినీ పరిశీలించగలగడం) ఈ నిరూపణ మార్గం నిర్మాణాత్మకైనది (constructive proof) కావడం.

కానీ, S అనంత సమితి (infinite set) అయితే, మనం ప్రతి సభ్యురాలినీ పరిశీలించే అవకాశం లేదు. P గుణం కలిగిన సభ్యురాలు ఎదురైతే పై ప్రతిపాదన నిజమవుతుంది కానీ ఎదురవకపోతే, మనమే విషయమూ తేల్చలేము, ఎందుకంటే అనంత సమితిలో ప్రతి సభ్యురాలినీ పరిశీలించడం అసాధ్యం.

కాబట్టి అనంత సమితులకి సంబంధించిన కొన్ని ప్రతిపాదనలు సత్యం, అసత్యం కాక మూడో మార్గం – అజ్ఞాతంగా ఉండవచ్చని బ్రోవర్ అభిప్రాయం. అందువల్ల కేంటర్ అనంత సంఖ్యలని గురించి చేసిన చాలా సిద్ధాంతాలని కొట్టివెయ్యాల్సి వస్తుంది! బ్రోవర్ అనేక రకాలైన అనంతాలున్నాయన్న కేంటర్ సిద్ధాంతం మన సహజజ్ఞానానికి విరుద్ధంగా ఉండడంవల్ల హాస్యాస్పదం అన్నాడు. అంతే కాదు, సాంప్రదాయిక గణితంలో అనేక అందమైన నిరూపణాలు కూడా చెల్లవని తీర్మానించాడు. ఇది చాలా మందికి మింగుడుపడలేదు. నిషిద్ధమధ్య సూత్రాన్ని అనంత సమితుల్లో వాడకూడదనడం ఖగోళ శాస్త్రజ్ఞులు టెలిస్కోపునీ, మల్లయుద్ధంలో వస్తాదులు పిడికిలినీ వాడకూడదనడం లాంటిదని హిల్బర్ట్ బ్రోవర్‌ని హేళన చేశాడు.

మనం సాధించలేని సమస్యలున్నాయన్నాడు బ్రోవర్. ఉదాహరణకి, π (పై) విస్తరణలో ఏ అంకె అయినా మిగిలిన అంకెలకన్నా ఎక్కువసార్లు వస్తుందా? దీనికి ఇప్పటికీ సమాధానం తెలియదు. నిషిద్ధమధ్య సూత్రం ప్రకారం దీనికి సమాధానం అవునో, కాదో తెలియాలి. కాని మనకిప్పుడు తెలియదు, ఎప్పటికైనా తెలుసుకోగలమో లేదో తెలియదు. నిషిద్ధమధ్య సూత్రం వాస్తవమయితే, మనకి తెలియని సమస్యలుండవు. కానీ, మనకి తెలియని సమస్యలున్నాయి కనుక, ఈ సూత్రం సార్వత్రికం కాదు అని బ్రోవర్ తీర్మానించాడు. ఇక్కడ బ్రోవర్ చిత్తశుద్ధిని మెచ్చుకోవాలి. పైన స్థిర బిందు సిద్ధాంతం నిరూపించి బ్రోవర్ పేరు గడించాడని తెలుసుకున్నాం. ఆ సిద్ధాంత నిరూపణలో ఇదే నిషిద్ధమధ్య సూత్రాన్ని వాడుకున్నాడు! ఇప్పుడు అది వాడటం తప్పు, ఆ నిరూపణలు వేరే మార్గాల ద్వారా చేస్తే కాని ఆ నిరూపణ వొప్పుకోరాదని అన్నాడు. తను గడించిన ఖ్యాతి వదులుకోడానికి ఏమాత్రం సంకోచించలేదు.

ఈ భావాలు ఎవరో అనామకుడి నుండి వస్తే గణిత శాస్త్రవేత్తలెవరూ పట్టించుకునేవారు కాదు. కానీ, బ్రోవర్ ప్రజ్ఞాపాటవాలున్న గణితశాస్త్రవేత్తగా పేరున్నవాడు. అతనికి తోడుగా మరో పేరున్న గణిత శాస్త్రవేత్త, హిల్బర్ట్ ప్రియ శిష్యుడు అయిన హెర్మన్ వేల్ (Hermann Weyl) జతకూడటంతో అగ్నికి ఆజ్యం పోసినట్లయింది.

గురువుని ధిక్కరించిన శిష్యుడు

గత శతాబ్దంలో మిక్కిలి పేరున్న గణితవేత్తలలో ఒకడు హెర్మన్ వేల్(Hermann Weyl). అతను బహుముఖ ప్రజ్ఞావంతుడు. గణితమే కాక, భౌతిక శాస్త్రం, తత్వశాస్త్రం, కళలని కూడా అధ్యయనం చేశాడు. అతనికి అయిన్‌స్టైన్‌తో పరిచయం ఉంది. వేల్ సాపేక్ష సిద్ధాంతాన్ని సామాన్యప్రజలకి బోధపడేలా రాసిన ఓ పుస్తకం బహుళ ప్రజాదరణ పొందింది. గోటింగెన్ యూనివర్సిటీలో హిల్బర్ట్‌కి అతణ్ణే వారసుడిగా భావించేవాళ్ళు. సైన్సులో సత్యానికీ (Truth), అందానికీ (Beauty) ప్రాముఖ్యత ఇచ్చి, రెండిట్లో ఎన్నుకోవాల్సినప్పుడు అందం వైపే తాను మొగ్గానని చెప్పుకున్నవాడు.

వేల్‌కి అప్పటి గణిత పునాదులని చూస్తే నమ్మకం కలగలేదు. గణితాన్ని ఇసుక పునాదుల మీద నిర్మించిన హర్మ్యంగా అభివర్ణించాడు. గణితానికి పట్టిన దుర్దశని తొలగిస్తే తప్ప ముందుకు వెళ్ళలేమని నిర్ధారించాడు. బ్రోవర్‌తో చెయ్యి కలిపాడు. వేల్‌లో వచ్చిన ఈ మార్పు చూసి హిల్బర్ట్ హతాశుడయ్యాడు.

ప్రపంచ ప్రసిద్ధి గాంచిన ఆ ఇద్దరు గణితవేత్తలు గణితంలో ఓ విప్లవమే అవసరం అని తీర్మానించారు. గణితం అంతా తిరగదోడటం మొదలెట్టారు. సహజ జ్ఞాన సిద్ధాంతాలలో ఇమడని గణితం అసలు గణితం కాదన్నారు. మరి చాలా చోట్ల ఉపయోగపడుతుంది కదా అంటే, సరయిన పునాదులు లేని భవనం వదిలెయ్యడమెలా మంచిదో, అలాగే ఆ పాత గణితాన్ని వదిలేయడమే శ్రేయస్కరమన్నారు. కొత్త నిరూపణలు క్లిష్టమయ్యాయి. ఇంతకు ముందున్న అందమైన నిరూపణల స్థానంలో వికారమైన నిరూపణలు వచ్చాయి. మునుపు అరపేజీ ఉండే నిరూపణలు పది పేజీలకి విస్తరించాయి. అందుకు వేల్‌కి కాస్త బాధ కలిగినా, బ్రోవర్ పక్షానే నిలిచాడు.

వీళ్ళిద్దరూ గణితానికి చేస్తున్న హానిని హిల్బర్ట్ సహించలేక పోయాడు. గణితానికి తీరని నష్టం కలుగుతుందని కలతచెంది, ‘పునాదుల సమస్య’ని శాశ్వతంగా పరిష్కరించాలని దీక్ష పూనాడు.