రేఖాగణిత బోధన
హిల్బర్ట్ యూనివర్సిటీలో ప్రతి సంవత్సరం చెప్పిన సబ్జెక్ట్ తిరిగి చెప్పకుండా బోధించేవాడు. ఆ విధంగా తనుగూడా కొత్త సంగతులు నేర్చుకునేవాడు. 1898 లో, అప్పటికి రెండువేల సంవత్సరాల క్రితం యూక్లిడ్ (Euclid) నిర్మించిన రేఖాగణితాన్ని హిల్బర్ట్ యూనివర్సిటీ స్థాయిలో బోధించడమే కాక, రేఖాగణితశాస్త్ర పునాదులమీదే కొత్త వెలుగులు ప్రసరించాడు.
యూక్లిడ్ రేఖాగణితంలో బిందువు, రేఖ, సమతలం (point, line, planes) లాంటి కొన్ని పరిమితమైన పదాలని నిర్వచించి, వాటికి సంబంధించిన కొన్ని స్వయంసిద్ధ సూత్రాలని (axioms) ప్రతిపాదించాడు. ఈ సూత్రాలకి వేరే నిరూపణ లేదు, వాటిని చదివితే అవి మనకు సహజంగానే సత్యమని తెలుస్తుంది. ఉదాహరణకి రెండు బిందువులని కలుపుతూ ఒకే ఒక్క రేఖని గీయగలమన్న సూత్రం. ఈ స్వయంసిద్ధ సూత్రాల ఆధారంగా యూక్లిడ్ కొన్ని వందల సిద్ధాంతాలని (theorems) నిరూపించాడు (axiomsకీ theoremsకీ చాలా తేడా ఉంది.) వాటిలో కొన్ని మనం చిన్నప్పుడు హైస్కూలులో చదువుకున్నవే. ఈ సిద్ధాంతాలలో చాలావరకు అవి ఎందుకు నిజమో మనకు వెంటనే బోధపడదు. ఉదాహరణకి ఏ త్రిభుజంలో నయినా మూడు కోణాల మొత్తం రెండు లంబకోణాలకి (180 డిగ్రీలకి) సమానం అన్న సిద్ధాంతం. అది ఎందుకు సత్యమో వెంటనే తెలియదు. కానీ, చాలా సులభంగా హైస్కూలు పిల్లలు నిరూపించగలరు. ఆ నిరూపణ విధానం స్వయంసిద్ధ సూత్రాల మీదా, అప్పటికే నిరూపించిన ఇతర సిద్ధాంతాల మీదా, ఆధారపడి ఉంటుంది కనుక ఆ నిరూపణని నమ్ముతాం.
కానీ, అవే సూత్రాలు సిద్ధాంతాలు, లేదా వేరే నిరూపణ మార్గాలు ఉపయోగించి మూడు కోణాల మొత్తం 180 డిగ్రీలకి సమానం కాని త్రిభుజం ఒకటి ఉందని ఎవరన్నా కనుక్కుంటే అప్పుడు ఈ యూక్లిడ్ రేఖాగణితంలో వైరుధ్యం (contradiction) ఉందన్నమాట. ఒక వైరుధ్యం వచ్చిందంటే శాస్త్రంలో మిగిలినదేదీ నమ్మలేము. గత రెండు వేల ఏళ్ళ నుండీ రేఖాగణితంలో వైరుధ్యాలు ఎదురవలేదు. అలా అని సంతృప్తి పడటానికి వీలులేదు. ఇంతకుముందు వ్యాసాలలో వివరించినట్లు 18, 19 శతాబ్దాలలో గణితంలో వైరుధ్యాలుండవచ్చునని ఆందోళన పడి, సరయిన పునాదులు ఏర్పరచాలని కొందరు గణితవేత్తలు ఉద్యమించారు.
లైబ్నిజ్ మీద వ్యాసంలో, యూరప్ విజ్ఞానశాస్త్రాలలో ప్రపంచంలోకెల్లా ముందంజ వేయడానికి కారణం సైన్సుల్లో గణితం ప్రధాన పాత్ర వహించడమనీ, అందుకు డెకార్త్ (Descartes) రేఖాగణితాన్ని బీజగణితంతో సమన్వితం చెయ్యడం దోహదం చేసిందనీ తెలుసుకున్నాం.
పదే పదే కంప్యూటర్ సైన్సులో వాడుకునే సూత్రం – కుదింపు (reduction): ఉదాహరణకి A అనే ఒక సమస్యని సాధించాలి. వేరే సాధించాల్సిన సమస్య B కూడా ఉంది. B కి సమాధానం తెలిస్తే, A ని సాధించగలమని నిరూపించామనుకోండి. అప్పుడు Aని Bకి “కుదించాం” (A is reduced to B) అంటాం. ఎవరైనా Bని సాధిస్తే, యాంత్రికంగా Aకి కూడా సమాధానం దొరికినట్లే.
అదే రీతిలో హిల్బర్ట్ సంఖ్యాగణితానికి సాపేక్షంగా రేఖాగణితం వైరుధ్యరహితం (consistent) అని నిరూపించాడు. సంఖ్యాగణితం (B) వైరుధ్యరహితమైతే, రేఖాగణితం (A) కూడా వైరుధ్యరహితమే. మరి సంఖ్యాగణితం వైరుధ్యరహితమని చూపించడం ఎలా? ఈ సమస్యని మరికొన్నేళ్ళ తర్వాత సాధించడానికి ప్రయత్నించాడు. రేఖా గణితపు పునాదులపై హిల్బర్ట్ రాసిన “The Foundations of Geometry” అనే చిన్న పుస్తకానికి గణిత ప్రపంచంలో అధిక ప్రచారం దొరికింది. ‘పునాదుల సమస్య’ అతి ముఖ్యమైన సమస్య అని హిల్బర్ట్ గుర్తించాడు.
హిల్బర్ట్ ప్రతిపాదించిన సమస్యలు
కొత్త శతాబ్దం మొదలయేటప్పటికి హిల్బర్ట్ పేరు గణిత ప్రపంచంలో మారుమోగుతోంది. 1900 లో పారిస్లో జరిగిన అంతర్జాతీయ గణిత సమావేశంలో హిల్బర్ట్ కీలకోపన్యాసం ఇచ్చాడు. హిల్బర్ట్ ఆ ఉపన్యాసాన్ని “మన ముందర దాగి ఉన్న భవిష్యత్తుపై తెరతీసి గణితశాస్త్రంలో దాగివున్న రహస్యాలని వెలికి తీయడానికి ఉబలాటపడని వారెవరు”? అంటూ ప్రారంభించాడు. ఆ తరువాత, “విస్తారమైన గణితశాస్త్రంలో సమస్యలకి కొదవ లేదు. గత యుగపు సమస్యలు వచ్చే యుగపు సమస్యలు కానవసరం లేదు. ఏ సమస్యయితే వర్ణించడానికి సులభమో, సామాన్యుడికి కూడా అర్థమవుతుందో, సాధించడానికి కష్టమయినా నిర్భేద్యం కాదో, ఆ సమస్యల మీద మన దృష్టి సారించాలి” అంటూ తన ఉపన్యాసంలో 23 సమస్యల జాబితా (Hilbert’s Problems) ఇచ్చాడు.
వాటిల్లో మొదటిది: కేంటర్ చివరివరకూ ప్రయత్నించి సాధించలేకపోయిన సమస్య – א0 (Aleph-Null) కీ c (continuum) కీ మధ్య వేరే అనంతం ఉందా? రెండవది: సంఖ్యా గణితంలో వైరుధ్యాలు లేవని నిరూపణ. పదవది: Diophantine సమీకరణాలని సాధించే విధానం ఉందా లేదా? ఆ సమస్యలు సాధించడంలో మేధావులు ఆ తరువాత ఒక శతాబ్దం గడిపారు. ఆ ఇరవై మూడు సమస్యల్లో ఏ ఒక్కటి సాధించినా గణితశాస్త్రంలో నోబెల్ బహుమతి సాధించినట్లే!
హిల్బర్ట్ని వ్యతిరేకించిన బ్రోవర్
పందొమ్మిదో శతాబ్దం నాటికి హాలండ్ (The Netherlands) దేశం సాంకేతికంగా అభివృద్ధి సాధించలేదు. ఆ లోటుని పూరించాలనే ఆకాంక్షతో ఆ దేశప్రజలు సాంకేతిక శాస్త్రాల మీద శ్రద్ధ చూపారు. దాంట్లో టీచర్లు ప్రముఖ పాత్ర వహించి, పిల్లలని ఉన్నత విద్యకు ప్రోత్సహించారు. అలాంటి ఓ టీచరు కొడుకు, లూయిట్సెన్ బ్రోవర్ (L. E. J. Brouwer).
లూయిట్సెన్ బ్రోవర్
1881-1966
బ్రోవర్ యూనివర్సిటీలో తత్వశాస్త్రం మీదా గణితం మీదా చాలా మక్కువతో గణితశాస్త్రపు పునాదుల మీద డాక్టరేట్ డిగ్రీ కోసం పరిశోధన మొదలెట్టాడు. అతడు జీవితం మీద చిత్రమైన మార్మిక, తాత్విక భావాలు కలవాడు. తన వివాదాస్పదమైన భావాల వల్ల ప్రొఫెసర్తో ఘర్షణకి గురయ్యాడు. గణితశాస్త్రపు పునాదుల అంశం అప్పుడు చాలా వివాదాస్పదమైనది. కేంటర్ అనంత సంఖ్యల పరిశోధనలతో గణితవేత్తలు అప్పటికి రెండు వర్గాలుగా చీలిపోయారు. కేంటర్ సిద్ధాంతాలని బ్రోవర్ తీవ్రంగా వ్యతిరేకించాడు. అవి గణితశాస్త్రానికి పట్టిన చెదలుగా తీర్మానించి, మొత్తం గణితాన్నే పునరుద్ధరించాలనుకున్నాడు. అందుకు చాలా వివాదాస్పదమైన భావాల నేర్పరచుకున్నాడు. అప్పటికే అతని పీహెచ్. డీ. థీసిస్ మూలంగా వచ్చిన అభ్యంతరాలను దృష్టిలో పెట్టుకొని ముందర కొన్నాళ్ళు సాంప్రదాయక గణితంలో పేరు తెచ్చుకుంటే మంచిదని అతని ప్రొఫెసర్ సలహా ఇచ్చాడు.
ఆ సలహా మేరకు టొపాలజీ (Topology) లో కొన్ని సిద్ధాంతాలని నిరూపించి బాగా పేరు సంపాదించాడు. బ్రోవర్ కనుక్కున్న వాటిల్లో అతి ముఖ్యమైనది స్థిర బిందు సిద్ధాంతం (Fixed Point Theorem). ఓ గళ్ళకాగితాన్ని తీసుకొని గడులని వేర్వేరు సంఖ్యలతో గుర్తుపెట్టండి. ఆ కాగితాన్ని కాపీ తీసి, ఒక గళ్ళ కాగితాన్ని నేలమీద పెట్టి, రెండో దాన్ని ఉండలాగా చేసి మొదటిదాని మీదకి విసరండి. నేలమీద కాగితంలో ఏ గడుల మీద ఉండ వాలిందో చూడండి. 5, 6, 7 అనుకుందాం. ఈ మూడిట్లో ఒకదానికైనా పై ఉండలో నిటారుగా అదే సంఖ్య ఉన్న గడి ఉంటుంది! ఉండ ఆకారం ఎలా ఉన్నా, గడులెన్ని ఉన్నా, ఇది మాత్రం ఖాయం. ఇది స్థిర బిందు సిద్ధాంతానికొక ఉదాహరణ.
స్థిర బిందు సిద్ధాంతానికి మరొక సులభమైన ఉదాహరణ: ఓ కప్పు కాఫీ తీసుకొని నెమ్మదిగా, మొత్తమంతా కలిసేలా కలపండి. కాఫీ నిశ్చల స్థితికి చేరుకున్న తర్వాత, స్థానం మారని అణువు కాఫీ మొత్తంలో కనీసం ఒక్కటైనా ఉంటుది. అంటే, ఆ అణువు స్థానం కాఫీ కలపకముందు, కలిపిన తరవాత ఒకటే ఉంటుంది. స్థిర బిందు సిద్ధాంతం ప్రకారం ఇటువంటి అణువు కనీసం ఒకటైనా ఉంటుంది. దీని వలన ఏమిటి ఉపయోగం అని తీసిపారేయకండి. 1994లో ఆర్థికశాస్త్రంలో నోబెల్ బహుమతిని పంచుకున్న జాన్ నాష్ (John Nash) ఈ సిద్ధాంతాలని వాడుకున్నాడు. (మన తెలుగు వారయిన ప్రొఫెసర్ గద్దె ఆనందస్వరూప్ కాలేజీలో విద్యార్థిగా ఈ సిద్ధాంతాల అందానికి ముగ్ధుడై టొపాలజీకి అంకితమయ్యారు.)