This series of mappings illustrate the concept of infinities to kids. Now, an enterprising soul can come with analogies to all the equations in terms of hotels and rooms and guests :-).

I did not understand the complexity in reductio ad absurdum. Philosophically, people may have issues with law of excluded middle, but other than that it is a desire to see the system not be inconsistent.

నా అభిప్రాయంలో మొదటి వాక్యాన్ని వదిలెయ్యండి - మీరు శుద్ధ గణిత దృష్టిలోనే వాడామన్నారు కనుక.

జీనో వాదనకి పూర్తి సమాధానం కావాలంటే ఇంకాస్త లోతుకి పోవాలని తోస్తుంది నాకు. Stanford లింకు ఉపయోగపడచ్చు ఆసక్తి కలవాళ్ళకి.

కొడవళ్ళ హనుమంతరావు

శుద్ధ తర్కం/గణితం ఆధారంగా వాదిస్తున్నప్పుడు కొలవగలమా లేదా అన్న ఆచరణపరమైన ఇబ్బందిని తీసుకురాకూడదు కదా.

జీనో ప్రకారం (మీ ప్రకారం కూడా) అకిలీస్ కీ తాబేలుకీ మధ్య దూరం సున్నాకి అతి దగ్గరగా వస్తుంది కాని, ఎప్పటికీ సున్నా కాదు. సున్నా కానిది అకిలీస్ తాబేలుని అందుకోలేడు!

మిమ్మల్ని Stanford ఫిలాసఫీ డిపార్ట్మెంట్ లో వదిలి నేను సెలవు తీసుకుంటాను. :-)

కొడవళ్ళ హనుమంతరావు

>ఇక్కడ మాట్లాడుతున్నది స్థలాన్ని గురించైతే మధ్యలో మీరు >కాలాన్ని తెచ్చి మరింత గడబిడ చెయ్యడం భావ్యమా!
>(కామేశ్వర రావు)

కామేశ్వర రావు గారు:

నేను రాసిందీ స్థలాన్ని గురించే! ఈ రేసు జరిగే చోటు లేక స్థలం అనేది బ్లాక్ హోల్ అయి ఉంటే, ఎట్లా ఉంటుందీ అన్నది: అకిలీసు తాబేలును దాటదు(డు).

ఇంకో రకంగా కూడా చూడండి, అకిలీసు తాబేలును దాటటం సాధ్యమేనా: రేసు జరిగేది బ్లాక్ హోల్ హొరైజన్ మీద లేక సింగ్యులారిటీకి దగ్గరలో అనుకోండి, కానీ మనం దూరంగా ఉండి అదే రేసును అంచనా వేస్తూ ఉంటే, మనక్కనిపించేది, జరిగేది వేరు వేరుగా ఉండవా? ఏది నిజం? [కనిపించేవన్నీ నిజాలు కావు.]

“అసత్యాలు” గా నిరూపించినంత మాత్రాన, అవి “సత్యం” కావు.

అంతవరకే నేను రాయాలనుకున్నది.

ఇక,
Proof by Contradiction కాంటెక్స్ట్ లో మీరు రాసిన రెండు వాక్యాలు నాకు కొంచెం విరుధ్దంగా అనిపించే, ఆ చివరి వాక్యం మాత్రమే విడదీసి చూసాను. వ్యాసంలో హనుమంతరావు గారు చెప్పిన నిర్వచనం వరకూ నాకు తెలిసింది, మీ మొదటి వాక్యం ఆ నిర్వచనానికి దగ్గర్లో ఉంది అన్నది. మీ రెండవ వాక్యం మీ మొదటి దానికి విరుద్ధంగా తోచింది. అందుకే మిగతాదంతా వదిలేసి ఆ చివరి దాన్నే చూసాన్నేను. May be I am wrong.

మళ్ళీ ఎప్పుడైనా, ముఖ్యంగా హనుమంత రావు గారి వ్యాసానికి ఆంగ్ల అనువాదం ఎక్కడైనా దొరికితే చదివాక ;) వివరంగా రాయగలనేమో.

ఈ వ్యాసపరంపర ఇదివరకు చదవలేదు నేను, ఈ ప్రయత్నాన్ని నిజంగా అభినందించాల్సిందే, అయిదో భాగం మత్రమే చదివాను నిన్ననే.

విప్లవ్

చివరలో, “మనం కొలవలేనంతగా సున్నకి ఎప్పుడైతే దగ్గరవుతుందో,” అని వాదించి వైరుధ్యం తొలిగిపోయిందన్నారు. అయితే జీనో దీనిని చాలా సులభంగా తిరస్కరిస్తాడు! కొలవడం, కొలవలేకపోవడం అన్నవి తర్కానికి చెందవు.

ఆ మాటని తార్కికంగా కూడా అన్వయించకోవచ్చు అని నా ఉద్దేశం, ఇంగ్లీషులో “tends to zero” అన్నదానికి సమానార్థకంగా. సున్నకి ఎంత దగ్గరగా ఉన్న చిన్న కొలతనిచ్చినా, అంతకన్నా దగ్గరగా ఉందని నిరూపించడమే కదా “tends to zero”కి అర్థం. జీనో అనంత శ్రేణిని గురించి మాట్లాడాడు కాబట్టి అతనిచ్చినది గణిత సంబంధమైన వివరణ. అంచేత దానికి గణితసంబంధమైన పరిష్కారం చూపిస్తే వైరుధ్యం తొలగి పోయినట్టే కదా. ఇందులో ఇంకా తీరని సమస్య ఏవిటి?

ద్విభాజక విరోధాభాస” తెలుగు అవొచ్చేమో అనుకుంటే నవ్వొచ్చింది.

మహరాజులా నవ్వుకోండి! ఈ ప్రజాస్వామ్య స్వతంత్ర భారతదేశంలో ఎవరికి వారు, భాషకి తమకి నచ్చిన నిర్వచనాన్ని ఇచ్చుకొనే స్వాతంత్యం ఉంది :)

అలానే “అసత్యం కాదు” అని నిరూపించినా “సత్యమే”

నాకు తెలిసి, ఇది మాత్రం కరెక్టు కాదు. అట్లా అనిపిస్తుందేమో, కాని కాదు. Do you remember, “Good Scientific Hypotheses Can NOT Be Proven Correct!” ఇది నాది కాదు, ఒక ఫిజిసిస్ట్ ఉవాచ :).

నా వ్యాఖ్యలో Proof of Contradiction గురించిన చెప్పిన కీలక అంశాన్ని ఒకసారి (మరోసారి) చదవండి.

అప్పుడు కూడా “అకిలీసు” తాబేలు ను దాటుకుని వెళ్ళే ప్రసక్తే ఉండదు. కాంతి (కాలం) వేగంతో పోటీ పడితే తప్ప అకిలీసు తాబేలును దాటే ప్రసక్తే ఉండదు.

ఇక్కడ మాట్లాడుతున్నది స్థలాన్ని గురించైతే మధ్యలో మీరు కాలాన్ని తెచ్చి మరింత గడబిడ చెయ్యడం భావ్యమా!

అన్నట్టు, అకిలీసు ప్రస్తుతానికి గ్రీకు వనిత అనుకుందాం :), గ్రీకు వీరుడు, అనే కన్నా! (తెలుగులో “చేరుతుంది” అని రాసినందుకు).

బాగా పట్టేరు సుమండీ! లెక్కలపేపరులో స్పెల్లింగు మిస్టేకు దిద్దిన మా లెక్కల మాస్టారు గుర్తుకువచ్చారు :) ఏదైనా, తప్పు తప్పే!

సూర్యం గారికి,

ద్విభాజక విరోధాభాస: సాధ్యమైనంతవరకు ఇంగ్లీషు వాడకూడదు అన్న సదుద్దేశం చాలా వరకు మేలు చేసినా కొన్ని వేళల్లో కీడు చేస్తుందనడానికి ఇది ఓ నిదర్శనమని ఒప్పుకుంటాను.

సున్నా విషయం: పూర్ణ సంఖ్యల్లో ప్రధాన సంఖ్యలు, అప్రధాన సంఖ్యలు, అని చదువుకోండి. సరిపోతుంది.

“పూర్ణ సంఖ్యల(Integers) సమితి సైజు వర్గ సంఖ్యల సమితి సైజు కన్నా చిన్నదా పెద్దదా సమానమా?” అని కామేశ్వరరావు గారు అడిగిన ప్రశ్నకి మీరు, “అనంతాలని పోల్చకూడదని హనుమంతరావు గారు రాశారు కదా?” అన్నారు. గెలీలియో అన్నడా మాట. కేంటర్ వచ్చి అవి రెండూ సమానమేనన్నాడు. వ్యాసంలో ఒకదానికొకటి జత చేసే విధానం మీద ఉదాహరణలతో వివరాలిచ్చాను. దీని గురించి ఎలాంటి సందేహమూ ఉండకూడదు.

“అనంతాల మధ్య కూడికలూ, గుణకారాలూ వుంటాయన్నారు. ఒక వుదాహరణ ఇచ్చి వుంటే బాగా అర్థం అయ్యేది,” అన్నారు. నిజమే. n సహజ సంఖ్య అయితే, అనంత సంఖ్యల (transfinite numbers) తో కూడికలకీ, గుణింతాలకీ కొన్ని ఉదాహరణలు:

א‎₀ + n = א‎₀
א‎₀ x n = א‎₀
א‎₀ + א‎₀ = א‎₀
א‎₀ x א‎₀ = א‎₀

కామేశ్వరరావు గారు చక్కగా విశదీకరించారు. థాంక్స్. కాని వారు చివరలో, “మనం కొలవలేనంతగా సున్నకి ఎప్పుడైతే దగ్గరవుతుందో,” అని వాదించి వైరుధ్యం తొలిగిపోయిందన్నారు. అయితే జీనో దీనిని చాలా సులభంగా తిరస్కరిస్తాడు! కొలవడం, కొలవలేకపోవడం అన్నవి తర్కానికి చెందవు.

సూర్యం గారూ, మీరు జీనో పారడాక్స్ లు గందరగోళంగా అర్థం పర్థం లేకుండా ఉన్నాయన్నారు. కామన్ సెన్స్ కి విరుద్ధంగా ఉన్న మాట వాస్తవమే. మీరు ఈ మధ్యన కనుక్కున్న గణిత సూత్రాల మూలంగా సాధించినదీ నిజమే. కాని జీనో వాదనలో తప్పు ఎక్కడ ఉందో మీరు చూప లేదు. నిజానికి అది అంత సులభం కాదు. అతని పారడాక్స్ లు సూక్ష్మం గానూ లోతుగానూ ఉంటాయి.

అనాది నుండి అనంతం గురించిన ఆలోచనలని స్థూలంగా వివరించి కేంటర్ ని ప్రవేశపెట్టాను. జీనో గురించి మరీ లోతుకు పోయే స్థాయి నాకు లేదు. కాని రస్సెల్ మాటలని మననం చేసుకుంటాను:

“In this capricious world nothing is more capricious than posthumous fame. One of the most notable victims of posterity’s lack of judgement is the Eleatic Zeno. Having invented four arguments all immeasurably subtle and profound, the grossness of subsequent philosophers pronounced him to be a mere ingenious juggler, and his arguments to be one and all sophisms. After two thousand years of continual refutation, these sophisms were reinstated, and made the foundation of a mathematical renaissance, by a German professor, who probably never dreamed of any connection between himself and Zeno”

“Although they have often been dismissed as logical nonsense, many attempts have also been made to dispose of them by means of mathematical theorems, such as the theory of convergent series or the theory of sets. In the end, however, the difficulties inherent in his arguments have always come back with a vengeance, for the human mind is so constructed that it can look at a continuum in two ways that are not quite reconcilable.”

కొడవళ్ళ హనుమంతరావు

విప్లవ్

కామేశ్వర రావు గారు రాసింది:

అలానే “అసత్యం కాదు” అని నిరూపించినా “సత్యమే”

నాకు తెలిసి, ఇది మాత్రం కరెక్టు కాదు. అట్లా అనిపిస్తుందేమో, కాని కాదు. Do you remember, “Good Scientific Hypotheses Can NOT Be Proven Correct!” ఇది నాది కాదు, ఒక ఫిజిసిస్ట్ ఉవాచ :).

కొడవళ్ళ గారి వ్యాసం చదవాలంటే భయమేసి ఆగాను. కానీ ఈ చర్చ మాత్రం చదివాను. Please Continue.

అన్నట్టు కామేశ్వర రావు గారూ:

ఒకవేళ తాబేలు తానున్న చోటు నుండి అసలు కదలదు మెదలదు అనుకుందాం (కాలం అనే ఒక డైమెన్షన్ దాన్ని ఒక చోట ఉండనీయదు అనుకోండి.) “అకిలీసు” ఒక వేళ పడీ పడీ ఎంతో వేగంగా తిరుగుతుందే అనుకుందాం. అప్పుడు కూడా “అకిలీసు” తాబేలు ను దాటుకుని వెళ్ళే ప్రసక్తే ఉండదు. కాంతి (కాలం) వేగంతో పోటీ పడితే తప్ప అకిలీసు తాబేలును దాటే ప్రసక్తే ఉండదు. ఒక వేళ కాంతి వేగాన్ని గనుక అనుకరిస్తే అకిలీసు తమ మధ్య ఉన్న దూరాన్ని పెరక్కుండా చూసుకోగలదేమో. లేకపోతే తాబేలెప్పుడూ ముందే :) –[”ఎక్కడో ఒక చోట” లాంటి కండీషన్స్ వేరే చెప్పాలా!].

పార్వతి వినాయకుడిని తన చుట్టూ తిరిగి పందెం గెలవమనటానికి ఏదో ఒక కారణం ఉండి ఉండాలి, అవిడకి లెక్కలు వచ్చినా రాకపోయినా! Somehow, Indian Economists are vindicated against their western counterparts who argued in favor of a rapid pace in reforms comes to my mind too.

“ఏ రకంగా చూసినా అకిలీసు తాబేలుని చేరుతుందన్నది స్పష్టం.”

అన్నట్టు, ఇది అసత్యం అని ప్రూవ్ చేసినంత మాత్రాన నేను చెప్పిందే సత్యం అవదు కదా! ;)

విప్లవ్
P.S. పదేళ్ళ “ఈ మాట” ప్రజల బుర్రలకు పని పెట్టే యాగాన్ని కొనసాగించాలని కోరుకునే వాళ్ళలో నేనూ ఒకడిని.

మీరు హనుమంతరావు గారు రాసిందే మళ్ళీ రాశారు. కొత్త పాయింటు రాయలేదు.

మీరు, ” రేసు మొదలయ్యాక, అకిలీసు Aనుంచి Bకి వెళ్ళడానికి కొంత సమయం పడుతుంది కదా. ఈ సమయంలో తాబేలు కొంత దూరం పరిగెడుతుంది.” అని రాశారు. అకిలీసు A నించి B కి వెళ్ళాలి అని మొదలు పెట్టారు. దాని బదులు అకిలీసు C అనే చోటుకి వెళ్ళాలి అని మొదలు పెట్టండి. C అనేది B1 ని దాటి వుంది అని కూడా అనండి. అప్పుడూ అకిలీసు తాబేలుని చక్కగా దాటొచ్చు. మీరు ఎప్పుడూ తాబేలు వున్న పాత చోటుని ధ్యేయంగా తీసుకుంటున్నారు. అలా కాకుండా తాబేలు వుండబోయే కొత్త చోటుని ధ్యేయంగా తీసుకోండి. అప్పుడు అకిలీసు తప్పకుండా తాబేలుని చేరుకుంటాడు. ఈ సమస్యలో కావల్సినంత గందరగోళం తప్ప కావాల్సిన తర్కం కనిపించడం లేదు.

అయినా ఈ లెక్కలకి అసలు సిద్ధాంతం - “కొంత దూరం వెళ్ళాలంటే, ముందు అందులో సగం దూరం వెళ్ళాలి” అన్న దాంట్లోంచే ఈ గందరగోళం అంతా. అందుకే అబద్ధం ఆడాలి అని జోక్ చేశాను. ఈ గణితం ప్రకారం 50+25+12.25+… అన్నది ఎప్పుడూ 100 కాదు. 100 ని చేరుతుంది (అప్రోచెస్) మాత్రమే. మిగిలిన పాయింట్ల గురించి వేరే కామెంట్లో రాశాను.

మీ చిక్కు ప్రశ్న: అనంతాలని పోల్చకూడదని హనుమంతరావు గారు రాశారు కదా? మరి మీరు మమ్మల్ని పోల్చమంటారేం?

ప్రతి నిర్దుష్టమైన భావనా, నిజమో కాదో అయిండాలి, మధ్యే మార్గం లేదు. ఇది అరిస్టాటిల్ సంఖ్యలకే కాదు, మానవ వివేచనకే మౌలికమని చెప్పాడు. ఉదాహరణకి, “సోక్రటీస్ మనిషి,” అన్న భావన నిజమో కాదో అయిండాలి. అటూ ఇటూ కాకుండా మధ్యన మరేదో కాలేదు. దీనిని law of excluded middle అంటారు.

అయితే దీనిని మీరన్నట్లే అందరూ అన్నివేళలా అంగీకరించరు. కేంటర్ సిద్ధాంతాలని ఖండించినది అందుకే. దీని గురించి వచ్చే సంచికలో వివరిస్తాను.

కొడవళ్ళ హనుమంతరావు

మీరు చెప్పిందంతా మీరు రాసిన వ్యాసం లోంచే అర్థం అయింది. ఇక్కడ అసలు ప్రశ్న ఇది:
“ఒక ఊహ తప్పు అని రుజువు చేస్తే, దానికి వ్యతిరేకం సరి అయినది అని ఊహించుకోవడం కరెక్టా అని”

ఇది అన్ని వేళలా సరి పోతుందా? ఇంతకీ సున్నా ప్రధాన సంఖ్యో, అప్రధాన సంఖ్యో చెప్పలేదు మీరు. సున్న కూడా ఒక సహజ సంఖ్యే కదా?

సున్నాని వదిలేసినా, మీరు ఇచ్చిన ఉదాహరణ సంఖ్యలకి సరిపోతుంది. కానీ ఈ పద్ధతి అన్ని విషయాల్లోనూ కరెక్టుగా వుంటుందా? అన్నింటిలోనూ, ఒక విషయమూ, దాని వ్యతిరేకమూ మాత్రమే వుంటాయా? ఒక విషయానికి మూడు విలువలు ఎప్పుడూ వుండవా? అలా వున్నప్పుడు, ఒక ఊహ తప్పు అని రుజువు చేస్తే, దాని వ్యతిరేకం కరెక్టు ఎలా అవుతుంది?

ఇదీ నా అసలు ప్రశ్న.

- సూర్యం

రెండో విరోధాభాస కూడా ఇలాటిదే. అక్కడ కీలకం 50+25+12.25+6.125+3.625+… అన్నది 100కి సమానం అన్న విషయం. కాబట్టి ఆ రకంగా గెంతుతూ ప్రయాణించినా 100 మీటర్లు చేరుకుంటాం.

Proof by contradiction గురించి హనుమంతరావు గారు మళ్ళీ వివరించారు, అర్థమయ్యే ఉంటుంది. ఇందులోని గుర్తుంచుకోవలసిన కీలకమైన అంశం ఏవిటంటే, మన ప్రతిపాదన “సత్య”మైనా అవ్వాలి “అసత్య”మైనా అవ్వాలి. కాబట్టి “సత్యం కాదు” అని నిరూపించినా, “అసత్యం” అని నిరూపించినా ఒకటే. అలానే “అసత్యం కాదు” అని నిరూపించినా “సత్యమే” అని నిరూపించినా ఒకటే.

ఈ వ్యాసం పాఠకులందరికీ ఒక చిక్కు ప్రశ్న :)
పూర్ణ సంఖ్యల(Integers) సమితి సైజు వర్గ సంఖ్యల సమితి సైజు కన్నా చిన్నదా పెద్దదా సమానమా?

సూర్యం గారికి,

నా వ్యాసాలు నచ్చాయని చెప్తే నాకు ప్రోత్సాహం కలుగుతంది. అర్థం కాలేదంటే, ముందు ముందన్నా ఎలా వివరించాలా అని ఆలోచన మొదలయి, అదీ ప్రోత్సాహాన్నే ఇస్తుంది. ఏ స్పందనా లేకపోతే, వీటివలన ఉపయోగమేమన్నా ఉందా అన్న సందేహం కలుగుతుంది. కాబట్టి మీరు మీ అభిప్రాయాలు నిష్కర్షగా చెప్తే లాభమే కాని ఏమాత్రం నష్టం లేదు. విరుద్ధ నిరూపణా విధానం అర్థం చేసుకోవడం అత్యవసరం కాబట్టి మరోసారి వివరించడానికి ప్రయత్నిస్తాను.

“అసత్య ప్రతిపాదనలు వైరుధ్యాలకి దారి తీస్తే, వాటిని అసత్యాలు కావు అని అనడంలో వున్న ఔచిత్యం అర్థం కాలేదు,” అన్నారు. మళ్ళీ మీరే, “ఒక ప్రతిపాదన సత్యం అని ప్రతిపాదించి, అది వైరుధ్యాలకి దారి తీస్తే, అప్పుడు అది సత్యం కాదు అని అనొచ్చు. అది అర్థం అవుతుంది,” అన్నారు. నిజానికి ఈ రెంటికీ విధానంలో తేడా లేదు! రెండిట్లోనూ ఓ ఊహ (assumption) తో మొదలెట్టి ఓ వైరుధ్యాన్ని చేరుకున్నాం కనుక ఆ ఊహ తప్పు అని తీర్మానిస్తున్నాం. మనం నిరూపించదలచుకున్నదానికి వ్యతిరేకమైనదానిని ఊహ గా తీసుకోవడమే ఈ నిరూపణా విధానం.

దీనికి ఓ మంచి ఉదాహరణ ఇస్తాను. అందరూ, ముఖ్యంగా కవులు:-), చదవాల్సిన పుస్తకం, మన రామానుజన్ ప్రతిభ ప్రపంచానికి వెల్లడి చేసిన GH Hardy రాసిన “A Mathematician’s Apology,” లోనిది. నిరూపించి రెండు వేల ఏళ్ళు దాటినా చెక్కు చెదరని అందం, కొత్తదనం కలిగి, అందరికీ సులభంగా అర్థమయే సిద్ధాంత నిరూపణ అని Hardy దీనిని వర్ణించాడు.

సంఖ్యలు రెండు రకాలు: ప్రధాన సంఖ్యలు (prime numbers), అప్రధాన సంఖ్యలు (non-prime numbers). ప్రధాన సంఖ్యని అదీ, ఒకటీ తప్ప మరే సంఖ్యా నిశ్శేషంగా విభజించలేదు. ఉదాహరణకి 2, 3, 5, 7, 11. ప్రతి అప్రధాన సంఖ్యా (ఒకటిని మినహాయించి) కొన్ని ప్రధాన సంఖ్యలని గుణిస్తే వచ్చే ఫలితమే. ఉదాహరణకి 6 = 2 x 3, 8 = 2 x 2 x 2, 9 = 3 x 3, 10 = 2 x 5. అంటే ప్రతి అప్రధాన సంఖ్యనీ కనీసం ఒక ప్రధాన సంఖ్య అయినా నిశ్శేషంగా విభజిస్తుంది.

ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతమా? కాదా? 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … ఇవన్నీ ప్రధాన సంఖ్యలు. ఈ శ్రేణి అనంతంగా కొనసాగుతుందా? లేక కొన్ని సంఖ్యల తర్వాత అంతమవుతుందా? అనంతం అని ప్రతిపాదిద్దాం. ఇది నిజమో కాదో నిరూపించడం ఎలా?

అనంతం కాదు అనే ఊహతో మొదలెడదాం. అనంతం కాకపోతే, అన్నిటికన్నాపెద్దదైన ప్రధాన సంఖ్య ఒకటుండి తీరాలి. దానిని P అందాం. అంటే ప్రధాన సంఖ్యల శ్రేణి 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … P తో ఆగిపోతుంది. ఇప్పుడో కొత్త సంఖ్య Q ని తయారుచేద్దాం:
Q = (2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x …x P) + 1
అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలనీ హెచ్చించి, ఫలితానికి ఒకటి కలిపితే వచ్చే సంఖ్య Q. ఈ కొత్త సంఖ్య P కంటె పెద్దది; కాని P ప్రధాన సంఖ్యలలో కెల్లా పెద్దది కావడాన, Q ప్రధాన సంఖ్య కాదు. అలాగని Q అప్రధాన సంఖ్య కాదు; ఏ ప్రధాన సంఖ్యా దానిని నిశ్శేషంగా విభజించలేదు - శేషం ఒకటి వస్తుంది కనుక! Q ప్రధాన సంఖ్యా కాదు, అప్రధాన సంఖ్యా కాదు! అది వైరుధ్యం. ఈ వైరుధ్యానికి దారి తీసినదేమిటి? ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతం కాదు అన్న ఊహ. ఆ ఊహే తప్పు. అంటే ఆ ఊహకి వ్యతిరేకమైనది ఒప్పు. అనగా ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతం అన్నది రుజువయింది!

కొడవళ్ళ హనుమంతరావు

ద్విభాజక విరోధాభాస (ఏం తెలుగు పదాలు బాబూ, నోరు తిరిగటం లేదు సరిగా) గురించి చదివాను. మీరు రాసిన సూత్రం, “చలనంలో ఉన్న వస్తువేదైనా తన గమ్యాన్ని చేరుకోవడానికి గమ్యానికి గల దూరంలో సగం దూరం ముందు ప్రయాణించాలి. ” అర్థమయింది. అలాగే 100 మీటర్లు ప్రయాణించాలంటే వచ్చే అనంత శ్రేణి 50+25+12.25+6.125+3.625+… కూడా అర్థం అయింది. ఇది ఎంత థియరిటికలో కూడా అర్థం అయింది.

దీని ప్రకారం 100 మీటర్లు ఎప్పుడూ చేరలేము. కానీ చేరాల్సిన చోటు 200 మీటర్లు అని మొదట అబద్ధం ఆడాలి. అందులో సగం 100 మీటర్లు పూర్తవగానే, “తూచ్చి” అని చెప్పి ఆగిపోవాలి. ఈ ప్రకారం ఈ థీరీ కూడా కరెక్టే, మనం నిజంగా గమ్యం చేరడం కూడా కరెక్టే. ఒక థీరీ అనేది సరైన చోట సరైన విధంగా అన్వయించకపోతే, ఎంత గందరగోళంగా వుంటుందో అర్థం అవుతోంది.

- సూర్యం

అకిలీసూ, తాబేలూ వేర్వేరు స్థిర వేగాలతో ప్రయాణం చేస్తున్నారనుకుందాం మీరు చెప్పినట్టుగానే. వుదాహరణకి అకిలీసు నిమిషానికి 100 అడుగుల స్థిర వేగంతోనూ, తాబేలు నిమిషానికి 10 అడుగుల స్థిర వేగంతోనూ నడుస్తున్నారనుకుందాం. వారిద్దరి మధ్య 100్ అడుగుల దూరం కూడా వుందనుకుందాం మీరు చెప్పినట్టుగానే. అకిలీసు వున్న చోటు A అనీ, తాబేలు వున్న చోటు B అనీ అనుకుందాం. రెండు నిముషాల తర్వాత అకిలీసు C అనే చోటూని చేరుకుంటాడు. A నించి C కి వుండే దూరం 200 అడుగులు అని మనకు అకిలీసు వేగాన్ని బట్టి అర్థ మవుతుంది. అదే రెండు నిమిషాల్లో తాబేలు D అనే చోటుని చేరుతుంది తన స్థిర వేగంతో. A నించి D కి దూరం 120 అడుగులు అని కూడా అర్థం అవుతుంది. ఎందుకంటే A నించి B కి 100 అడుగుల దూరం, B నించి C కి 20 అడుగుల దూరం కాబట్టి. అంటే D అనే పాయింటు, A కీ, C కీ మధ్యలో వుందని కూడా స్పష్టంగా తెలుస్తోంది. మరి ఈ పారడాక్సుకి అర్థం ఏమిటీ?

అకిలీసు 200 అడుగులు నడిచే లోపు, తాబేలు 20 అడుగులు మాత్రమే నడుస్తుంది. తాబేలు ఒకే చోట వుండనక్కర్లేదు. 20 అడుగుల దూరం 200 అడుగుల దూరం కన్నా తక్కువ కాబట్టి, అకిలీసు తాబేలుని దాటుతాడు. ఇది మనం ప్రత్యక్షంగా చూస్తున్నాం కూడా.

అందుకని ఈ పారడాక్సు బొత్తిగా అర్థం, పర్థం లేనిదిగా కనబడుతోంది. ఏమంటారూ?

అలాగే అనంతాల మధ్య కూడికలూ, గుణకారాలూ వుంటాయన్నారు. ఒక వుదాహరణ ఇచ్చి వుంటే బాగా అర్థం అయ్యేది. అనంతం ప్లస్ అనంతం ఈక్వల్టు అనంతం అన్నదా దీనర్థం?

- సూర్యం

ఇందులో తప్పు ఏమన్నా వుందా, లేక నాకు సరిగా అర్థం కాలేదా అన్నది ఇక్కడ పాయింటు.

ఒక ప్రతిపాదన అసత్యం అని ప్రతిపాదించాక, ఆ ప్రతిపాదన వైరుధ్యానికి దారి తీస్తే, దానర్థం అది అసత్యం కాబట్టే కదా? అసత్యమైన ప్రతిపాదనలే కదా వైరుధ్యాలకి దారి తీస్తాయి? సత్యమైన ప్రతిపాదనలు ఎటువంటి వైరుధ్యాలకీ చోటివ్వకూడదు కదా? అలాంటప్పుడూ, దాన్ని అసత్యం కాదు అని ఎలా అంటాము? అర్థం కాలేదు.

ఒక ప్రతిపాదన సత్యం అని ప్రతిపాదించి, అది వైరుధ్యాలకి దారి తీస్తే, అప్పుడు అది సత్యం కాదు అని అనొచ్చు. అది అర్థం అవుతుంది.

అసత్య ప్రతిపాదనలు వైరుధ్యాలకి దారి తీస్తే, వాటిని అసత్యాలు కావు అని అనడంలో వున్న ఔచిత్యం అర్థం కాలేదు నా లాంటి మామూలు బుర్రకి. కొంచెం వివరించగలరా దయచేసి?

- సూర్యం

అసలేమీ అర్థం కాలేదా? కామన్ సెన్స్ కి విరుద్ధంగా ఉండటాన అనంతం తో కూడిన వ్యవహారం ముందర నమ్మబుద్ధి కాదు. అలాగని వదిలెయ్య కూడదు. “పట్టుపట్టరాదు పట్టి విడువగరాదు” అని వేమన చెప్పినట్లు, మీరు చదవడానికి ఉపక్రమించారు కనుక అర్థమయిందాకా వదలకూడదు:-). ఈ వ్యాసంలో ఉన్నవి నాలుగు అంశాలు:

1. ఎన్ని సహజ సంఖ్యలు ({1, 2, 3, …}) ఉన్నాయో అన్నిసరి సంఖ్యలు ({2, 4, 6, …}) ఉన్నాయి! ఇది “మొత్తం, భాగం కన్నా పెద్దది” అన్న సామాన్య భావానికి విరుద్ధంగా ఉండటాన చాలా ఆశ్చర్యమయినది. ఒకదానికొకటి జతపరచే విధానం ద్వారా వివరించాను. దీనినే సంభాషణల ద్వారా తెలుసుకోవాలంటే గెలీలియో డయలాగ్స్ చదవండి. ఇది అర్థం అయేదాకా ముందుకు వెళ్ళకండి.

2. ఎన్ని సహజ సంఖ్యలున్నాయో, అన్ని సరి సంఖ్యలు, బేసి సంఖ్యలు, వర్గ సంఖ్యలు, … ఉన్నాయని తెలుస్తుంది. అంతే కాదు, భిన్న సంఖ్యలు కూడా సహజ సంఖ్యలన్నే ఉన్నాయని కేంటర్ చూపాడు. దీనితో అనంతం ఒకే ఒక సైజులో (సహజ సంఖ్యలెన్ని ఉన్నాయో ఆ సైజులో) ఉన్నదన్న అనుమానం వస్తుంది. అలా కాదు, వాస్తవ సంఖ్యలు (real numbers - వీటిని దశాంశ పద్ధతిలో రాస్తాం) సహజ సంఖ్యల (natural numbers) కన్నా ఎక్కువ ఉన్నాయని కేంటర్ రుజువు చేశాడు - వికర్ణ విధానం (diagnonal proof) ద్వారా. (ఇది మీకు ఎక్కడ అర్థం కాలేదో చెప్తే, మళ్ళీ ప్రయత్నిస్తాను.)

3. దానితో అనంతం కనీసం రెండు సైజుల్లో ఉందన్నది విశదమయింది. కేంటర్ అంతటితో ఆగక అనంతం అనంత సైజుల్లో ఉన్నదని power sets ని తీసుకొని మళ్ళీ వికర్ణ విధానం ద్వారా నిరూపించాడు. (దీనికి అవసరమయిన సమితుల సిద్ధాంతాన్ని క్లుప్తంగా పరిచయం చేశాను.)

4. కేంటర్ నిరూపణలకి విరుద్ధాలని (proof by contradiction) వాడుకున్నాడు. A అన్న ప్రతిపాదన ఉందనుకోండి. మనకి తెలిసిన, అంతకు ముందే నిరూపించిన వాటి ఆధారంగా A ని రాబట్టితే, దానిని నిర్మాణాత్మక నిరూపణ (constructive proof) అంటారు. మనం హైస్కూల్లో నేర్చుకున్న చాలా రేఖా గణితపు సిద్ధంతాలు అలాంటివే. proof by contradiction వేరే విధానం: A అసత్యం అని మొదలెట్టి, మనం అంతకు ముందే నిజమని తెలుసుకున్న దానికి విరుద్ధమైన దానితో ముగించడం. అంటే ఏమిటి? మనం మొదట్లో అనుకున్నది - A అసత్యం - తప్పన్న మాట - అదే విరుద్ధానికి దారి తీసింది; అది తప్పయితే A నిజమని ఒప్పుకొని తీరాలి! కాని ఈ విధమైన నిరూపణని అనంత సమితులకి వర్తించడాన్ని చాలా మంది గణిత మేధావులు ఖండించారు. ఆ విధంగా గణితంలో కలహాలొచ్చాయి. చిత్రంగా అవి కంప్యూటర్ కనుక్కోడానికి కారణమయ్యాయి.

అదీ విషయం. 1, 4 సులభంగానే అర్థం అవుతాయి; 2 కూడా అర్థం కావాలి - మళ్ళీ ప్రయత్నించండి. 3 కి చిన్నప్పుడు చదివిన వాటిని కాస్త గుర్తు తెచ్చుకోవాలి.

కనీసం చదివి అర్థం చేసుకోడానికి ప్రయత్నించినందుకు కృతజ్ఞతలు.

కొడవళ్ళ హనుమంతరావు