కాంటర్ సిద్ధాంతాలపై తీవ్రమైన ఖండన

కాంటర్ కనుగొన్న అనేక అనంతాల సంఖ్యలూ, సిద్ధాంతాలూ అప్పటివరకూ ఉన్న జ్ఞానానికి విరుద్ధంగా ఉన్నాయి. అనంతమైన రకాల అనంతాలున్నాయనీ, వాటికి సహజ సంఖ్యలకి ఉన్నట్లుగానే కూడికలు, గుణకారాలు లాంటి సూత్రాలున్నాయనీ అంటే చాలా మందికి మింగుడుపడలేదు. వీరిలో ముఖ్యమైన వాడు కాంటర్ కి ఒకప్పుడు బెర్లిన్ యూనివర్సిటీలో గురువైన క్రోనెకర్ (Leopold Kronecker). వీరిద్దరి మధ్యా పచ్చగడ్డి వేస్తే భగ్గుమనేటంతగా పరిస్థితి విషమించింది.

కాంటర్ సిద్ధాంతంలో కూడా రస్సెల్, ఫ్రేగె సిద్ధాంతాల లాగానే విరోధాభాసలున్నాయి. ఉదాహరణకి, అన్ని సమితులూ ఉన్న సమితి (U) (set of all sets) ని ఊహించుకోండి. దీని ఘాత సమితి, P(U), సైజెంత? కాంటర్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, అది U కంటె పెద్దదయి ఉండాలి. కాని U లో లేని సమితే లేదు కదా. మరి దానికన్నా పెద్దదెలా సాధ్యం?

ఏదైనా ఒక ప్రతిపాదన సత్యమని నిరూపించడానికి “ఆ ప్రతిపాదన అసత్యం అని మొదట ప్రతిపాదించి, చివరకి ఆ ప్రతిపాదన వైరుధ్యానికి దారితీస్తుందని నిరూపించి, అందువలన మొదటి ప్రతిపాదన అసత్యం కాదు” అని తీర్మానించే విధానం (Proof by contradiction) పరోక్షమైనది. కాంటర్ ఉపయోగించిన ఈ పరోక్ష నిరూపక విధానం నిర్మాణాత్మకమైనది (constructive) కాదు. ఈ విధానాన్ని చాలా మంది ఒప్పుకోలేదు. అయితే, సరళంగా, అందంగా (elegant) ఉండటంవలన ఇలాంటి నిరూపణలు అనాదిగా గణితంలో వాడారు. వాటిని కొద్దిగా కష్టపడి నిర్మాణాత్మకమైన నిరూపణలగా మార్చవచ్చు. అప్పుడవి నిరూపణలలోని సరళత్వాన్ని కోల్పోతాయి. కానీ, కాంటర్ సిద్ధాంతాలని పరోక్షంగా తప్ప నిర్మాణాత్మకంగా నిరూపించలేము.

కాంటర్ కనుగొన్న అనంత సంఖ్యా గణితానికీ వాస్తవ ప్రపంచానికీ ఏమాత్రం సంబంధం లేదనీ, సమితుల సిద్ధాంతం గణితానికి పట్టిన తెగులు అనీ, అది వదిలినప్పుడు గాని గణితానికి విముక్తి లేదనీ కొందరు విమర్శించారు. కాంటర్ తన జీవితం అంతా చిన్న యూనివర్సిటీలోనే గడిపాడు. పేరున్న బెర్లిన్ యూనివర్సిటీలో ప్రొఫెసర్ పదవికి అవకాశం వచ్చినా క్రోనేకర్‌కి కాంటర్ అంటే గిట్టక ఆ పదవి రాకుండా అడ్డుపడ్డాడు. క్రోనేకర్‌కీ కాంటర్‌కీ ఉన్న విరోధం వల్ల కొన్ని జర్నల్లలో కాంటర్ పేపర్లు ప్రచురించడం కూడా కష్టమయింది.

కాంటర్ ఏ విమర్శలనీ తేలికగా తీసుకోలేదు, వాటికి ఘాటైన ప్రతివిమర్శలు రాశాడు. తన సిద్ధాంతాలని గణితపరంగానే కాక మతపరంగా కూడా సమర్థించుకున్నాడు. తను అనేక రకాల అనంతాలను కనుక్కున్నాననీ, వీటికతీతంగా పరమ అనంతం (Absolute Infinity) అనేది ఉన్నదనీ, అది మాత్రం భగవంతునికి తప్ప మానవమాత్రుల ఆలోచనలకి అందదనీ భావించాడు. అది మతాధికారులకి సంతృప్తినిచ్చినా, కాంటర్ విమర్శకులు మాత్రం అతనికి విలువ ఇవ్వలేదు.

మతి భ్రమించిన కాంటర్

ఈ విమర్శల ప్రభంజనంలో, 1884లో నలభై ఏళ్ళ వయసు దాటకుండానే కాంటర్ అనారోగ్యంపాలై, డిప్రెషన్‌కి లోనయ్యాడు. అప్పట్లో దీనికి అసలు కారణం తోటి గణితవేత్తల ఘాటైన విమర్శలే అనుకున్నారు – కాంటర్ కూడా అలానే భావించాడు. ఇప్పుడు అది బహుశా వారసత్వంగా సంక్రమైంచిన బైపోలార్ వ్యాధి మూలంగానని భావిస్తున్నారు. మూల కారణం కాకపోయినా, విమర్శలు కాంటర్ ని తీవ్ర మనోసంక్షోభానికి గురి చేశాయన్నదాంట్లో ఏమాత్రం సందేహం లేదు. దీని తరువాత కాంటర్ దాదాపుగా మౌలికమైన గణిత ఫలితాలేమీ సాధించలేదు. కొన్నాళ్ళు ఫిలాసఫీ మీదా తర్వాత సాహిత్యం మీదా దృష్టి సారించాడు. షేక్స్పియర్ రచనలని బేకన్ రాశాడని నమ్మాడు. అది నిరూపించడానికి చివరిదాకా శ్రమపడ్డాడు.

పదేపదే మానసిక స్వస్థత కోసం శానిటొరియం లో ఉండాల్సొచ్చింది. ఈ కష్టాలు చాలవన్నట్లు, 1899 లో తన చిన్న కొడుకు హఠాత్తుగా చనిపోవడంతో జీవితం భరించరానిదయింది. 1913 లో ప్రొఫెసరు ఉద్యోగం నుండి రిటైరయ్యాడు. మొదటి ప్రపంచ యుద్ధం భీకర స్థాయిలో సాగుతుండగా, ఒక సంవత్సరం పాటుగా శానిటొరియం లో చికిత్స పొందుతున్న కాంటర్ 1918 లో అక్కడే ఆఖరి శ్వాస వదిలాడు.

గణితంలో ముసలం

కాంటర్ కనుగొన్న కొత్త గణితం కొంతమంది గణితవేత్తలకి ఏమాత్రం నచ్చలేదు; వాళ్ళేమీ చిన్నా చితకా వాళ్ళు కాదు, గణితంలో ఆరితేరిన, పేరున్న హేమాహేమీలు.

ఇదేదో అనంతం గురించిన గజిబిజి, దీనిని పట్టించుకోగూడదనుకుంటే, దీనికి మూలమైన సమితుల సిద్ధాంతాన్ని అనేకమైన ఇతరచోట్ల గణితవేత్తలు వాడటం మొదలుపెట్టారు. వాళ్ళకి కాంటర్ సమితుల సిద్ధాంతాలని వదులుకోవడం ఇష్టం లేదు. కాంటర్ కనుగొన్న కొత్త గణితాన్ని స్వర్గంగా భావించినవాళ్ళున్నారు. తమని ఆ స్వర్గం నుండి ఎవరూ బహిష్కరించలేరని హిల్బర్ట్ అంతటి వాడే ప్రకటించాడు. పునాదుల్లోనే లోపాలున్న దానిని, విరోధాభాసా భూయిష్టమైనదానిని గణితంలో ఎలా అనుమతిస్తారని మరో వర్గం వాళ్ళు పేచీ పెట్టారు. గత శతాబ్దపు మొదటి భాగంలో ఈ విభేదాల మూలంగా గణితవేత్తలలో ఎంతో పేరున్న వాళ్ళు వర్గాలగా విడిపోయారు. గణితానికి పెద్ద గండమే వచ్చింది.

ఆ గండాన్ని గట్టెక్కించడానికి గొప్ప గొప్ప మేధావులు కృషి చేశారు. గండం గడవలేదు కాని, ఆ ప్రయత్నంలో కంప్యూటర్ పుట్టింది. ఆ కథ వచ్చే సంచికలలో తెలుసుకుందాం.

నేనీ వ్యాసం రాయడానికి ఉపయోగించుకున్న పుస్తకాలు:

1. The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity. Amir D. Aczel. Four Walls Eight Windows, 2000. కాంటర్ మత విశ్వాసాలకీ గణితానికీ కల సంబంధాన్ని వివరిస్తుంది.
2. Paradise Lost? Cantor, in “Men of Mathematics.” E. T. Bell. Simon & Schuster, 1986. చిలువలు పలువలతో రాసినా ఇప్పటికీ చదివింపచేస్తుంది.
3. Math through the Ages: A Gentile History for Teachers and Others. William P. Berlinghoff and Fernando Q. Gouvea. Oxton House Publishers, 2002. గణితానికి కొన్ని వేల సంవత్సరాల చరిత్ర ఉంది. దానిని కేవలం రెండు వందల పేజీలలో కుతూహలం కలిగించే విధంగా రాసిన మంచి పుస్తకం.
4. The Mathematical Analysis of Infinity, in What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods. Richard Courant and Herbert Robins. Revised by Ian Stewart. Oxford University Press, 1996. జీవిత చరిత్రలూ, కేవలం వినోదపరచే పాఫులర్ సైన్సు పుస్తకాలూ విజ్ఞానాన్నివ్వలేవనీ, అవగాహన పెరగాలంటే గణితం చదవాలనీ, సొంతంగా ఆలోచించాలనీ, Courant 1941 లో రాసిన ఈ పుస్తకం క్లాసిక్.
5. The Anatomy of the Infinite, in Number: The Language of Science. Tobias Dantzig. The Masterpiece Science Edition. Pi Press, 2005. ఇదో క్లాసిక్. సంఖ్యా గణిత చరిత్రని ఇంత సులభంగా సొగసుగా సామాన్యులకి పరిచయం చేసిన పుస్తకం మరొకటి లేదు.
6. Cantor: Detour Through Infinity, in The Universal Computer: The Road from Leibnitz to Turing. Martin Davis. WW Norton Company, 2000. ఇది నాకు స్ఫూర్తి.
7. Journey Through Genius: The Great Theorems of Mathematics. William Dunham. Penguin Books, 1991. ఇతర సిద్ధాంతాలతో పాటు కాంటర్ సిద్ధాంతాలని సరళంగా వివరించాడు. ఆసక్తికరమైన విషయం – కాంటర్ నీ వాన్ గో (Van Gogh) నీ పోల్చడం.
8. గెలీలియో పారడాక్స్. గెలీలియో Two New Sciences పూర్తి పాఠం.
9. From Cantor to Hilbert, in “Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann.” Ioan James. Cambridge University Press, 2004. అరవై మంది గణితవేత్తలని పరిచయం చేసే సంక్షిప్త జీవిత చరిత్రల పుస్తకం.
10. Paradise Barred, in Mathematics: The Loss of Certainty, Morris Kline. Oxford University Press, 1980. పురాతన కాలం నుండి గణితం ఎదుర్కొన్న విపత్తులని వివరిస్తుంది.
11. మెదడుకు పదును. మహీధర నళినీమోహన్. విశాలాంధ్ర పబ్లిషింగ్ హౌస్, 2004. పేజీలు 32-35. జీనో పారడాక్స్ లకి సమాధానాలిక్క డ ఉన్నాయి.
12. To Infinity and Beyond: A Cultural History of the Infinite, Eli Maor. Princeton University Press, 1987.
13. పారభౌతిక తాత్వికుడు పార్మెనిడీస్ అన్న అధ్యాయం. విశ్వదర్శనం. నండూరి రామమోహనరావు. లిఖిత ప్రచురణలు, 2002. జీనో పారడాక్స్ లూ, గురువుగారి తత్వం గురించిన వివరణా ఉన్నాయి.
14. Everything and More: A Compact History of ∞. David Foster Wallace. WW Norton and Company, 2003. The Great Discoveries Series. కాంటర్ సిద్ధాంతాల గురించి కథలా చెప్పడానికి చేసిన మంచి ప్రయత్నం.