అరచేతిలో అనంతం

వాస్తవ సంఖ్యలని ఒక సరళ రేఖ మీది బిందువులనీ ఒకదానికొకటి జతచెయ్యొచ్చు. ఏ సరళ రేఖలో నయినా అనంతమైన బిందువులుంటాయి. అంగుళం పొడవు భుజం ఉన్న చతురస్రంలోని బిందువులని తీసుకుందాం – అవో అనంతం. అంగుళం పొడవున్న సరళరేఖలో కూడా అనంతమైన బిందువులున్నాయి. మొదటి అనంతం రెండో అనంతం కన్నా పెద్దదని పిస్తుంది - ఓ కాగితం పైన ఉన్న బిందువులు కాగితం అంచు మీదున్న బిందువులకన్నా ఎక్కువ కదా! కాంటర్ ఆ విధంగా మరో అనంతాన్ని, c కన్నా పెద్దదాన్ని, కనుక్కోవచ్చని చూశాడు. ఆశ్చర్యంగా, తన ఊహ తప్పని నిరూపించాడు! దీనినే Dimension Proof అంటారు.

చతురస్రం లోపలి ఏ బిందువునైనా రెండు నిరూపకాల (co-ordinates) ద్వారా సూచించవచ్చు. x నిరూపకం, y నిరూపకం అని చిన్నప్పుడు చదువుకున్నాం. x నీ y నీ రెండు వాస్తవ సంఖ్యల ద్వారా సూచిస్తాం:
x = 0.3871
y = 0.5643

ఇప్పుడు దశాంశ బిందువు తర్వాత ఉన్న అంకెలని ఒక్కొక్కటే ఇలా తీసుకోండి. మొదటి అంకె x నుండి, తర్వాతది y నుండి, ఆ తర్వాతది x నుండి, ఇలా ఓ కొత్త వాస్తవ సంఖ్యని తయారుచెయ్యొచ్చు. పై x, y ల నుండి z = 0.35867413 అన్నసంఖ్య వస్తుంది. ఇది అంగుళం పొడవున్న రేఖ మీద ఓ బిందువుని సూచిస్తుంది! చతురస్రం లోని ప్రతి బిందువుకీ రేఖ మీద ఓ ప్రత్యేకమైన బిందువుని కనుక్కోవచ్చు. అంటే చతురస్రం లోని బిందువులని రేఖలోని బిందువులతో జత చెయ్యొచ్చన్న మాట. దీనినే పొడిగించి n-dimensional వస్తువు లో ఉన్న బిందువులు ఓ రేఖలో ఉన్న బిందువులకి సమానమని చూపించవచ్చు. అటూ ఇటూ అనంతంగా పొడిగించిన రేఖలో ఉన్న బిందువులు ఓ అంగుళపు రేఖలోని బిందువులకి సమానమనీ చూపించవచ్చు.

అంటే ఏమిటి? అనంత పరిణామాలున్న విశ్వం (infinite-dimensional space) లో ఎన్ని బిందువులున్నాయో ఓ చిన్న రేఖలో కూడా అన్నే బిందువులున్నాయన్నమాట! కాంటర్ తను కనుక్కున్నదానిని తానే నమ్మలేకపోయాడు. “నా కళ్ళని నేనే నమ్మలేకున్నాను (”Je le vois, mais je ne le crois pas!” — I see it but I don’t believe it!) అని తన స్నేహితుడు డేడికిండ్(Didekind) కి రాశాడు.

మరి ఈ రెండు (”א‎₀“, “c”) అనంతాలేనా, ఇంకా వేరే అనంతాలున్నాయా అని కేంటరు పరిశోధించాడు. దీనికి ఇంకా ఆశ్చర్యకరమైన సమాధానం కనుగున్నాడు. అనంతాలలో ఒకటి, రెండు కాదు, అనంతమైన రకాలున్నాయి!

అనంతమైన సైజుల్లో అనంతాలు

పైన చెప్పిన సమితుల సిద్ధాంతం గురించి మరో విషయం తెలుసుకుందాం. ఒక సమితి నుండి దాని ఉప సమితులని (subsets) రాబట్టవచ్చు. ఉదాహరణకి, A = {1, 3, 8} అన్న సమితి కున్న ఉప సమితులు: శూన్య సమితి {}; ఒక్కరే సభ్యులున్న సమితులు – {1}, {3}, {8}; ఇద్దరు సభ్యులున్న సమితులు – {1, 3}, {1, 8}, {3, 8}; ముగ్గురు సభ్యులున్న సమితి – {1, 3, 8}; మొత్తం 8 ఉప సమితులు. సమితి సభ్యులేవైనా కావొచ్చు; వేరే సమితులే సభ్యులు కావొచ్చు. ఈ ఉప సమితులనన్నిటినీ కలిపి ఓ కొత్త సమితిని తయారుచేద్దాం. దానిని ఘాత సమితి (power set) అంటారు – దానిని P() తో సూచిస్తారు. Power Set of A = P(A) = {{}, {1}, {3}, {8}, {1, 3}, {1, 8}, {3, 8}, {1, 3, 8}}.

ఓ సమితిలో n మంది సభ్యులుంటే, దాని ఘాత సమితిలో 2**n (two to the power n) సభ్యులుంటారు. పైన A లో ముగ్గురు సభ్యులున్నారు కదా. P(A) లో 2**3 = 2*2*2 = 8 మంది సభ్యులున్నారు. ఏ సమితిని, A, తీసుకున్నా, P(A) సైజు A కన్నా పెద్దది. A లో పరిమితమైన (finite) సభ్యులుంటే ఇది నిరూపించడం సులభం - n కన్నా 2**n పెద్దదని మీరే నిర్థారించుకోవచ్చు. కాని ఇది అపరిమిత (infinite) సమితులకి కూడా వర్తిస్తుందని కాంటర్ ఇలా నిరూపించాడు:

సహజ సంఖ్యల సమితి N అయితే P(N) లెక్కించగల సమితేనా (countable set)? అంటే P(N) ని మరో N లాంటి సమితితో జత చెయ్యగలమా? చెయ్యలేము అని కాంటర్ సిద్ధాంతం. అంటే P(N) సైజు N కన్నా పెద్దది. దీనిని నిరూపించడానికి కాంటర్ proof by contradiction వాడాడు.

P(N) లెక్కించగల సమితి అనుకుందాం. అంటే సహజ సంఖ్యల సమితి లోని ఉప సమితులనన్నిటినీ 1, 2, 3, … లతో జత చెయ్యొచ్చన్న మాట. ఆ ఉప సమితులనన్నిటినీ క్రింద పట్టికలో వరుసగా “ఉప సమితులు” అన్న గడి క్రింద రాశాం. ప్రతి ఉప సమితి వరుసలో దాంట్లో ఉన్న సంఖ్య గడి క్రింద “ఉంది” అనీ లేని సంఖ్య గడి క్రింద “లేదు” అని రాశాం. ఉదాహరణకి రెండవ ఉప సమితిని తీసుకోండి – అన్ని బేసి సంఖ్యలూ ఉన్న సమితి ఇది. దీనికి 1 క్రింద ఉంది, 2 క్రింద లేదు, 3 క్రింద ఉంది – అలా రాశాం.

ఇప్పుడు వికర్ణ పరంగా ఓ ఉప సమితిని ఈ విధంగా నిర్మిద్దాం: దీంట్లో 1 ఉంటుందా లేదా? అన్నదానికి సమాధానం, 1 కి సంబంధించిన వికర్ణ స్థానంలో ఉన్న విలువకి వ్యతిరేకం. ఆ విధంగా ప్రతి సంఖ్యకీ ఆ ప్రశ్న వేసుకొని ఆ సంఖ్యని ఈ ఉప సమితిలో ఉంచాలో లేదో నిర్ణయిస్తాం. ఈ క్రింది పట్టిక ప్రకారం ఈ ఉప సమితి {2, 3, 4, …} లా ఉంటుంది – దీంట్లో 1 లేదని గమనించండి.

ఇది కచ్చితంగా P(N) లో ఉన్న ఉప సమితే – సహజ సంఖ్యలతో చేసినది కాబట్టి. ఉప సమితులనన్నిటినీ వరుసగా రాశాం కాబట్టి ఇది కూడా ఏదో ఒక వరుసలోవచ్చి తీరాలి. M వరుసలో వచ్చిందనుకుందాం

ఉప సమితులు

	ఉప సమితులు	1	2	3	4	…	M	…
1	{1, 2, 3, …}	ఉంది	ఉంది	ఉంది	ఉంది	…	…	…
2	{1, 3, 5, …}	ఉంది	లేదు	ఉంది	లేదు	…	…	…
3	{2, 4, 6, …}	లేదు	ఉంది	లేదు	ఉంది	…	…	…
4	{3}	లేదు	లేదు	ఉంది	లేదు	…	…	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…
M	…	…	…	…	…	…	…	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…

ఇప్పుడో ప్రశ్న: M అన్న సంఖ్య మనం నిర్మించిన ఉప సమితిలో ఉందా?

జవాబు ఉంది అనుకుందాం: అంటే M వరుసలో M సంఖ్య కి సంబంధించిన నిలువుగడిలో ఉంది అని ఉండాలి. మరక్కడ ఉంది అని ఉంటే వికర్ణ విధానం తో నిర్మించిన సమితిలో M ఉండదు!

పోనీ జవాబు లేదు అనుకుందాం: అంటే M వరుసలో M సంఖ్య కి సంబంధించిన నిలువుగడిలో లేదు అని ఉండాలి. మరక్కడ లేదు అని ఉంటే వికర్ణ విధానం తో నిర్మించిన సమితిలో M ఉంటుంది!

ఉందంటే లేదు, లేదంటే ఉంది అని తీర్మానిస్తున్నాం. అంటే మనం చేసిన వాదంలో ఎక్కడో తప్పు ఉంది? వాదం అంతా సరిగానే ఉంది కాని మొట్టమొదటనే మనం ఒకటి అనుకున్నాం – P(N) లెక్కించగల సముదాయం అని. అది కేవలం ఊహ; ఎలాంటి ఆధారం లేని ఊహ. దానితో మొదలెట్టి కచ్చితమైన వాదం చేస్తే ఓ వైరుధ్యానికి దారి తీసింది. అంటే మనం మొదట్లో ఊహించినది తప్పన్నమాట. P(N) లెక్కించగల సమితికన్నా పెద్దది. ఈ విధంగా కాంటర్ రెండో అనంత సంఖ్యని కనుక్కున్నాడు – అది P(N) సైజుకి సమానం. దానిని א₁(Aleph-one) అని పిలిచాడు.

అయితే ఇంతటితో ఆగాల్సిన పని లేదు. P(N) యొక్క ఘాతుక సమితిని, P(P(N)), కనుక్కోవచ్చు. అది P(N) కంటే పెద్దదయి తీరుతుంది. అంటే మరొక అనంత సంఖ్య కనుక్కున్నట్లు. దానికి א₂ అని పేరు పెట్టాడు. దీనికిక అంతం లేదు. మనకెన్ని అనంత సంఖ్యలు కావాలంటే అన్ని సృష్టించుకోవచ్చు – అనంతంగా א₀, א₁, א₂, … మనం సహజ సంఖ్యలతో కూడికలూ, తీసివేతలూ, మొదలైనవి చేసినట్టుగా ఈ అనంత సంఖ్యలతోనూ అవి ఎలా చెయ్యవచ్చో వాటికి సూత్రాలు ప్రతిపాదించాడు. అనంత సంఖ్యల గణితం (Arithmetic of Transfinite Cardinals) అని ఓ కొత్త గణితాన్నే తయారుచేశాడు.

సమవాయ ప్రతిపాదన (Continuum Hypothesis)

పైన వాస్తవ సంఖ్యల సముదాయపు సైజు, C, సహజ సంఖ్యల సముదాయపు సైజు, א₀ కన్నా పెద్దదని నిరూపించాం. C = א₁ అని కాంటర్ నిరూపించాడు. అయితే కాంటర్ కి ఓ తీరని సందేహం మిగిలింది - א₀ కీ C కీ మధ్య వేరే అనంతం లేదు అని ప్రతిపాదించాడు. దానిని నిరూపించడానికి జీవితాంతం ఎంతో శ్రమపడ్డాడు. నిరూపించలేనందుకు చాలా విచారపడ్డాడు. తనేకాదు, తర్వాత అనేకమంది గొప్ప గొప్ప గణితవేత్తలెంతో కృషి చేశారు. కాంటర్ నిరూపించలేకపోవడానికి కారణముంది. 1963 లో అది తప్పో కాదో నిరూపించలేము అని పాల్ కొయెన్ (Paul Cohen) అన్న గణితవేత్త నిరూపించాడు!