అనంతాలలో పెద్దా చిన్నా

“The essence of mathematics is freedom.” - Cantor

కాంటర్ సహజ సంఖ్యలతో మొదలు పెట్టి రక రకాల అనంతసమితులని (infinite sets) పరిశీలించాడు. బేసి సంఖ్యలు, సరి సంఖ్యలు, వర్గ సంఖ్యలు – ఇవన్నీ సహజ సంఖ్యలలో భాగం కదా. సహజ సంఖ్యలే భాగంగా ఉన్న అనంతం ఏమిటి? రుణ సంఖ్యలూ, ధన సంఖ్యలూ ఉన్న సమితి (I) – {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} ని తీసుకుంటే దీంట్లో సహజ సంఖ్యలన్నీ ఉన్నాయి, వాటి రుణ రూపకాలు కూడా ఉన్నాయి. మరి దీని సైజు ఎంత? పైకి చూస్తే ఇది సహజ సంఖ్యల సమితి కంటె పెద్దదనిపిస్తుంది – రుణ, ధన, రెండు వైపులా ఇది అనంతంగా సాగుతుంది కనుక. కాని ఈ రెంటినీ ఇలా జత చెయ్యొచ్చు:

1	2	3	4	5	6	… (N – సహజ సంఖ్యల సమితి)
↕	↕	↕	↕	↕	↕
0	-1	1	-2	2	-3	… (I – రుణ, ధన సంఖ్యల సమితి)

N లో m సరి సంఖ్య అయితే అది I లో –m/2 తో జతకూడుతుంది; m బేసి సంఖ్య అయితే అది I లో (m-1)/2 తో జతకూడుతుంది. I లో m రుణ సంఖ్య అయితే N లో -2m తో, కాకపోతే 2m+1 తో జతకూడుతుంది. ఒకదానికొకటి సరిగా జతచెయ్యొచ్చు. అంటే N లోనూ I లోనూ సమానమైన సంఖ్యలున్నాయన్న మాట. ఆ రెండు సమితుల సైజులూ సమానం. అనంతం, కానీ, సమానం.

అనంతంతో ఇంకాస్త అభ్యాసం చేద్దాం. పూర్ణ సంఖ్యలు కాకుండా భిన్నాలని తీసుకుని చూద్దాం. భిన్నాలనే కరణీయ సంఖ్యలు (rational numbers) అంటారు. వాటిని సహజ సంఖ్యల నిష్పత్తిగా రాయగలం; ½, 2/3, 7/1, 5/4 – ఇలా. కరణీయ సంఖ్యలనన్నిటి సమితిని (Q) తీసుకుందాం. దీని సైజు సహజ సంఖ్యల సమితి (N) సైజు కన్నా ఎక్కువా, కాదా? సహజ సంఖ్యలన్నీ కరణీయ సంఖ్యల్లో భాగమే – 5 కి బదులు 5/1 అని రాయొచ్చు. పక్కపక్కనున్న సహజ సంఖ్యలనే తీసుకోండి. వీటి మధ్యన అనంతమైన కరణీయ సంఖ్యలున్నాయి. ఉదాహరణకి 2 కీ 3 కీ మధ్య 2/1, 2+1/2=5/2, 2+1/3=7/3, 2+1/4=9/4, 2+1/5=11/5, … అలా 3 కి చేరకుండా అనంతంగా కరణీయ సంఖ్యలు రాయవచ్చు. రెండు సంఖ్యల మధ్యనే అనంతమైన కరణీయ సంఖ్యలుంటే అసలు అన్ని కరణీయ సంఖ్యలనీ తీసుకుంటే అవి సహజ సంఖ్యల కంటె ఎక్కువే ఉండొచ్చనిరూపించగలం.

అయితే కాంటర్ మళ్ళీ తెలివిగా సహజ సంఖ్యలనీ కరణీయ సంఖ్యలనీ ఒకదానికొకటి జత చెయ్యొచ్చని చూపించాడు. కరణీయ సంఖ్యలని వేర్వేరు గ్రూపులుగా ఇలా రాయొచ్చు:

[1/1] [1/2, 2/1] [1/3, 2/2, 3/1] [1/4, 2/3, 3/2, 4/1] [1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1] …

ప్రతి గ్రూపు లోనూ – [] బ్రాకెట్ల మధ్య ఉన్నవి – ఏ భిన్నాన్ని చూసినా దాని లవ, హారాల మొత్తం (numerator + denominator) సమానంగా ఉంది. మొదటి గ్రూపులో ఆ మొత్తం 2, తర్వాత దాంట్లో 3, ఆ తర్వాత 4, అలా. పై అమరికలో అన్ని కరణీయ సంఖ్యలూ ఉన్నాయని గ్రహించండి. ఇప్పుడు వీటిని మనం సహజ సంఖ్యలతో పరస్పరం అన్వయించవచ్చు:

1	2	3	4	5	6	7	8	8	10	11	… (N – సహజ సంఖ్యల సమితి)
↕	↕	↕	↕	↕	↕	↕	↕	↕	↕	↕
1/1	½	2/1	1/3	2/2	3/1	¼	2/3	3/2	4/1	1/5	… (Q – కరణీయ సంఖ్యల సమితి)

ఇలా ఏ అనంతసమితిని తీసుకున్నా అది సహజ సంఖ్యల సమితికి సైజులో సమానంగా ఉంది! అంటే, ‘అనంతాలన్నీ ఒకే సైజులో ఉన్నాయా?’ అన్న అనుమానం వస్తుంది. కాదని కాంటర్ అద్భుతంగా నిరూపించాడు. అందుకు వాస్తవ సంఖ్యలని (real numbers) తీసుకున్నాడు. వాస్తవ సంఖ్యలంటే మరేవీ కాదు, మనం దశాంశ పద్ధతిలో రాసేవన్నీ వాస్తవ సంఖ్యలే. ఉదాహరణకి:

1/3 = 0.3333333333…
4/2=2.000000000…
1/7=0.142857142857…

పైన చూపిన సంఖ్యలన్నిటిలో దశాంశ బిందువు తర్వాత కొన్ని స్థానాలతర్వాత వచ్చిన అంకెలే మళ్ళీ మళ్ళీ ఓ బాణీ (pattern) లా వస్తుండటం గమనించండి – మొదటిదానిలో 3, చివరిదానిలో 142857. ఇవన్నీ నిజానికి కరణీయ సంఖ్యలు. కొన్ని వాస్తవ సంఖ్యలని దశాంశ రూపంలో రాసినప్పుడు వాటిల్లో కరణీయ సంఖ్యల్లోలా తిరిగొచ్చే బాణీ ఏమీ ఉండదు. ఉదాహరణకి:

π (పై)= 3.141592653589793240…
√2 = 1.259921049894873160…

వీటిని అకరణీయ సంఖ్యలు (irrational numbers) అంటారు. వీటిని రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తిగా రాయలేము. వాస్తవ సంఖ్యల సమితి సహజ సంఖ్యల సమితి కన్నా పెద్దది అని కాంటర్ నిరూపించిన పద్ధతి తెలుసుకోదగ్గది. ఇప్పుడు దీనిని హైస్కూలు విద్యార్థులందరూ వికర్ణ విధానం పేరిట నేర్చుకుంటారు. ఇది కంప్యూటర్ సైన్సులో ముఖ్యమైన అనేక సందర్భాల్లో ఉపయోగిస్తారు.

వికర్ణ విధానం (The Diagonal Method)

కాంటర్ దీనిని వైరుధ్యం మూలంగా నిరూపించాడు. ఇంగ్లీషులో proof by contradiction అంటారు. నిరూపించదలచుకున్న దానికి విరుద్ధమైన దానిని తీసుకొని అది వాదంలో వేరే వైరుధ్యానికి దారితీస్తుందని చూపే విధానం. వాస్తవ సంఖ్యలు సహజ సంఖ్యలన్నే ఉన్నాయనుకుందాం (మనం నిరూపించదలచుకున్నదానికి వ్యతిరేకం). అంటే వాస్తవ సంఖ్యలన్నిటినీ ఒకదాని తర్వాత ఒకటి సహజ సంఖ్యలతో జతకూర్చవచ్చన్న మాట. అలాగయితే వాటిని వరుసగా జత చేసినట్టు రాద్దాం:

1వ వాస్తవ సంఖ్య: 0.2198765432…
2వ వాస్తవ సంఖ్య: 0.615672457…
3వ వాస్తవ సంఖ్య: 0.345674527..
…

ఇలా అనంతంగా వాస్తవ సంఖ్యలనన్నిటినీ సహజ సంఖ్యలతో 1, 2, 3, … అంటూ జతచెయ్యొచ్చనుకుందాం. ఇప్పుడు మనమో కొత్త వాస్తవ సంఖ్యని తయారుచేద్దాం. ఎలాగంటే పైన బొద్దుగా (bold face) చూపెట్టిన దశాంశ బిందువు తర్వాత వికర్ణపరం (diagonal) గా ఉన్న అంకెలని తీసుకోండి. వాటిల్లో ప్రతి అంకెనీ వేరేదైనా అంకెగా మార్చండి. ఉదాహరణకి, అంకె 1 అయితే 2, అంకె 1 కాకఫొతే 1 గా రాయండి. పూర్ణ సంఖ్యని మాత్రం 0 గానే ఉంచండి. వికర్ణ స్థానంలో ఉన్న 0.215… అన్నదానిని ఆ ప్రకారం మారిస్తే 0.121… అవుతుంది. ఈ కొత్త సంఖ్య పైన లిస్టులో ఉన్న ఏ సంఖ్యకీ సమానం కాదు; ఎందుకంటే మనమీ కొత్త సంఖ్యని నిర్మించే విధానంలో అది ప్రతి సంఖ్యతోనూ కనీసం ఒక స్థానంలో నయినా (మొదటి సంఖ్యతో దశాంశ బిండువు తర్వాత మొదటి స్థానంలో, రెండో సంఖ్యతో రెండో స్థానంలో, మూడో సంఖ్యతో మూడో స్థానంలో …) విభేదించేటట్లుగా జాగ్రత్తపడ్డాము. కాని ఇది కూడా ఒక వాస్తవ సంఖ్యే. అయితే ఇది 1వ, 2వ, 3వ, … అంటూ మనం జత చేసిన వాస్తవ సంఖ్యలలో లేదు. మరి మనం ఎత్తుకోవడమే ‘’అన్ని'’ వాస్తవ సంఖ్యలనీ అలా జతచేసినట్లు అనుకున్నాం – అది తప్పు. వాస్తవ సంఖ్యలని సహజ సంఖ్యలతో జత చెయ్యలేము! సహజ సంఖ్యల లాగానే వాస్తవ సంఖ్యలు కూడా అనంతమే కాని సహజ సంఖ్యల అనంతం కన్నా వాస్తవ సంఖ్యల అనంతం పెద్దది!

(పైన నేను వాస్తవ సంఖ్యలనన్నిటినీ తీసుకోకుండా (0, 1 ) మధ్య ఉన్న వాస్తవ సంఖ్యలనే తీసుకొని నిరూపించాను. అవే సహజ సంఖ్యలకంటె ఎక్కువ ఉన్నాయి. (0, 1) మధ్య ఉన్న వాస్తవ సంఖ్యల సమితి సమస్త వాస్తవ సంఖ్యల సమితితో సైజులో సమానమని రేఖాగణితంతో నిరూపించవవచ్చు.)

పై నిరూపణ ద్వారా కనీసం రెండు రకాల అనంతాలున్నాయని స్పష్టమయింది. చిన్న అనంతం సహజ సంఖ్యలెన్నో తెలిపేది, పెద్ద అనంతం వాస్తవ సంఖ్యలెన్నో తెలిపేది. మొదటి దానికి א₀ (Aleph-Null) అనీ రెండో దానికి c (continuum) అనీ కాంటర్ పేరు పెట్టాడు. Aleph అన్నది హిబ్రూ భాషలో మొదటి అక్షరం. అవిచ్ఛిన్నంగా (continuous) సాగే సరళరేఖతో వాస్తవ సంఖ్యలని సూచిస్తారు. సహజ సంఖ్యలతో జతచెయ్యగలిగిన సమితికి “లెక్కించగలిగిన సమితి” (countable or denumerable set) అని పేరుపెట్టాడు.

ఇవి రెండేనా? ఇంకా పెద్ద సైజుల్లో అనంతం ఉందా? అని కాంటర్ పరిశోధించాడు.