గేయార్గ్ కాంటర్ జీవిత సంగ్రహం

గేయార్గ్ కాంటర్
(1845-1918)

గేయార్గ్ కాంటర్ రష్యాలోని సెయింట్ పీటర్స్‌బెర్గ్‌లో 1845 లో పుట్టాడు. తండ్రి వ్యాపారస్తుడు – ముందర హోల్ సేల్ ఏజెంటుగా పనిచేసి తర్వాత స్టాక్ ఎక్స్చేంజ్‌లో బ్రోకర్ గా పనిచేశాడు. కాంటర్ తల్లికి సంగీతంలో మంచి అభినివేశం ఉంది.

పందొమ్మిదో శతాబ్దంలో యూరప్ లో క్షయ వ్యాధి ఎంతోమంది పేదవాళ్ళనీ, ధనవంతుల్నీ పొట్టనపెట్టుకుంది. కాంటర్ తండ్రి కూడా క్షయ వ్యాధి పాలయ్యాడు. 1856లో ప్రమాదకరమైన సెయింట్ పీటర్స్‌బెర్గ్‌ చలినుండి తప్పించుకోవడానికి కాంటర్ తండ్రి జర్మనీకి కుటుంబంతో సహా నివాసం మార్చాడు. ఆయన కేవలం దక్షతగల వ్యాపారస్తుడే కాక, సున్నితమైన భావాలు కలవాడు. కొడుకుకి చిన్నతనంలో చక్కటి ఉత్తరాలు రాసేవాడు. కాంటర్ విద్యాబుద్ధుల మీద ఎంతో శ్రద్ధ కనబరిచేవాడు. తనకి చిన్నప్పుడే రాసిన ఒక ఉత్తరం, కాంటర్ జీవితకాలం గుర్తుంచుకున్నదీ ఒకటుంది. అది అతని జీవితంలో ముందు జరగబోయేది ఊహించి చెప్పినట్లుగా ఉంది:

“ముందు ముందు ఏ కష్టాలెదుర్కోవాల్సొస్తుందో ఎవరికి తెలుసు? జీవితంలో మొదటిసారిగా ఏదైనా విపత్తుని ఎదుర్కోవలసివచ్చినప్పుడు పిరికితనంతో వెనుకంజ వేసిన ప్రతిభావంతులెందరు లేరు? ఒకసారి గుండె బలం కోల్పోయినతర్వాత మిగిలేదేముంది – మహా అయితే ఒకప్పటి మేధావిగా మిగిలిపోతారు. దేనికయినా గుండె ధైర్యం ఉండాలి. అన్ని కాలాల్లోనూ అదే నీకు అండదండలుగా ఉండేది.”

“కాని, మనమీద అసూయతో అపవాదులు సృష్టించి మన ఆశలని అడియాసలు చెయ్యడానికి ఎప్పుడూ సంసిద్ధంగా ఉండే అంతర్‌బహిర్ శత్రువులని ఓ కాపు కాయాలంటే గుండె ధైర్యమొక్కటే చాలదు. వివిధ సాంకేతిక రంగాలలో విస్తారమైన విజ్ఞానం సంపాదించాలి. కష్టపడి జీవితంలో పైకి రావాలనుకునేవాళ్ళకి ఇవి ఎంతో అవసరం; లేకపోతే అనర్హులైన వాళ్ళు అర్హులైన వాళ్ళని వెనక్కి తోసి ముందుకెళతారు.”

గేయార్గ్ ఇంజనీరింగ్ చదివితే మంచిదని తండ్రి నిశ్చయించాడు. కాంటర్ 1862 లో జూరిక్ లోని పాలిటెక్నిక్ కాలేజీలో చేరాడు. చదువులో రాణించాడు. కానీ, ఇంజనీరింగ్ కన్నా లెక్కలంటే కాంటర్ కి మక్కువ ఎక్కువ. ‘తమ మనసుకి ఏది ఇష్ష్టమో దానిలో కృషిచేస్తేనే జీవితంలో ఎవరైనా ఏదైనా సాధింగలరనీ, రేయింబవళ్ళూ తన ఆలోచనలలో గణితశాస్త్రం మించి మరేమీ లేదనీ, గణితశాస్త్రం చదవాలన్న నిర్ణయానికి ఒప్పుకోమనీ’ గేయార్గ్ తండ్రికి వినయంగా ఉత్తరం రాశాడు. ఆయన సంతోషంతో సరేనన్నాడు కానీ, అకాల మృత్యువు పాలయ్యాడు. తండ్రి వ్యాపారంలో బాగా మిగల్చడం వలన అతని కుటుంబం పెద్దదైనా, ఆర్థికంగా ఇబ్బందుల పాలవలేదు. 1863 లో కాంటర్ పేరు పొందిన బెర్లిన్ యూనివర్సిటీలో చేరి, నాలుగేళ్ళలోనే సంఖ్యాశాస్త్రం (Number Theory) లో డాక్టరేట్ సంపాదించాడు. అనంతాల గణితం గురించి కాంటర్ చేసిన విప్లవాత్మకమైన సిద్ధాంతాలు అక్కడ వైయర్‌స్ట్రాస్ లాంటి గొప్ప గణితవేత్తల మన్ననలు పొందాయి. అవే సిద్ధాంతాల వలన కాంటర్ గురువైన మరో ప్రముఖ గణితవేత్త లియొపోల్డ్ క్రోనెకర్ (Leopold Kronecker) కాంటర్ కి బద్ధ విరోధిగా మారడం విశేషం. డాక్టరేట్ సంపాదించినతర్వాత హాలీ (Halle University) యూనివర్సిటీలో ప్రొఫెసరుగా చేరాడు. కాంటర్ తన చెల్లెలి స్నేహితురాలైన వాలీ గట్‌మన్ (Vally Guttmann) ని పెళ్ళి చేసుకున్నాడు. ఆరుగురు పిల్లలతో కాంటర్ వైవాహిక జీవితం సంతోషంగా సాగింది. కాంటర్ 1913 లో హాలీలో పదవీ విరమణ చేశాడు. బైపోలార్ మానసిక వ్యాధికి గురై 1918 లో శానిటోరియంలో చికిత్స పొందుతూ చనిపోయాడు.

హాలీ పేరున్న యూనివర్సిటీ కాకపోయినా, తోటి ప్రొఫెసర్లు మేధావులు కాకపోయినా కాంటర్ ఒకరిద్దరు స్నేహితుల ప్రోద్బలంతో, వారి ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలతో తన పరిశోధనలని సాగించి ఓ విప్లవాత్మకమైన గణిత విభాగానికి కారకుడయ్యాడు. అనంతాల గురించి తెలుసుకునే ముందు దానికి మూలమైన సమితుల సిద్ధాంతాన్ని (Set Theory) — ఇప్పుడు హైస్కూలు పిల్లలు చదువుకునేదానిని– పరిచయం చేసుకుందాం.

సమితుల సిద్ధాంతం (Set Theory)

కొన్నిటిని ఓ గుంపుగా కలిపితే వచ్చేది సమితి. ఆ కలిపేవి ఏవయినా – వస్తువులు, జీవాలు, ప్రదేశాలు, సంఖ్యలు, భావాలు – కావచ్చు; ఎన్నయినా కావొచ్చు. ఉదాహరణకి, {రాముడు, లక్ష్మణుడు} అన్న సమితిలో రెండు, {1, 9, 4, 8} అన్నదానిలో నాలుగు సభ్యులుగా ఉన్నాయి. సమితిలోని సభ్యుల సంఖ్యనే ఆ సమితి సైజు (set cardinality or power of the set) అంటారు. A = {1, 9, 4, 8} అన్న సమితి సైజు 4. A = {} అన్న సమితి సైజు సున్న – దాంట్లో సభ్యులెవరూ లేరు కనుక. A = {1, 2, 3, …} అన్న సమితి సైజెంత? దీనిలో సహజ సంఖ్యలన్నీ ఉన్నాయి; అవి అనంతం. ప్రస్తుతానికి ఆ సైజు అనంతం అనుకుందాం. కాంటర్ గొప్పతనమంతా అనంత సమితులని (infinite sets) కూలంకషంగా పరిశోధించడమే. అందుకు ఆయన ఉపయోగించుకున్న ఓ ముఖ్య సూత్రం, రెండు సమితులు సమమో కాదో తేల్చి చెప్పడానికి సంబంధించినది. అది చాలా సులభమైనది కానీ, అనంతాల దగ్గరకొచ్చేటప్పటికి మాత్రం మన ఉపజ్ఞ (intuition) కి విరుద్ధమైనది.

ఒకదానికొకటి జతచెయ్యడం (One-to-one correspondence)

ఎవరైనా పసిపాపని తన కుడి చేతికీ ఎడమ చేతికీ వేళ్ళు సమానంగా ఉన్నాయా అని అడిగితే ఏం చేస్తుంది? కుడి చెయ్యి చూసుకొని, ఒకటి, రెండు, మూడు, నాలుగు, అయిదు అని లెక్కపెట్టి, ఎడమ చెయ్యి చూసుకొని, అలాగే లెక్కపెట్టి, అవును, సమంగానే ఉన్నాయని చెప్పవచ్చు. ఆ పసిపాప గణిత జ్ఞానం ఇంకా ఆ స్థాయికి రాకపోతే ఏం చేస్తుంది? రెండు చేతుల వేళ్ళనీ ఒకదానికొకటి – కుడి బొటనవేలు ఎడమ బొటనవేలికీ, కుడి చూపుడు వేలు ఎడమ చూపుడు వేలుకీ …, కుడి చిటికెనవేలు ఎడమచిటికెన వేలుకీ, అలా ప్రతి కుడి వేలునీ ఒక ఎడమ వేలుతో జతచేసి, ఎన్ని వేళ్ళున్నాయో లెక్కించాల్సిన అవసరం లేకుండా, కుడి చేతికీ ఎడమ చేతికీ సమానమైన వేళ్ళున్నాయని చెప్పవచ్చు.

ఓ గదిలో అమ్మాయిలూ అబ్బాయిలూ ఉన్నారనుకుందాం. వాళ్ళని జతలుగా, ప్రతి జతలో ఒక అబ్బాయీ, ఒక అమ్మయీ ఉండేడేటట్లుగా ఒకరికొకరు ఎదురుగా నిలబడమన్నామనుకోండి. చివరకి అబ్బాయిలు మిగిలితే, అబ్బాయిలు ఎక్కువున్నారనీ, అమ్మాయిలు మిగిలితే అమ్మాయిలు ఎక్కువున్నారనీ, ఎవరూ జతలేకుండా మిగలకపోతే అబ్బాయిలూ, అమ్మాయిలూ సమానంగా ఉన్నారనీ మనం తెలుసుకోవచ్చు. లెక్కించడం కన్నా ఇలా జతచెయ్యటమే మౌలికమైనది; మానవుడికి లెక్కించటం తెలియక మునుపే జతచేసి సమానమో కాదో తేల్చడం తెలుసు. ఈ సూత్రం పరిమితమైన సమితులకే కాక అపరిమిత (infinite) సమితులకి కూడా వర్తిస్తుంది.

సహజ సంఖ్యల సమితి (N) – {1, 2, 3, 4, … }, వర్గ సంఖ్యల సమితి(S) – {1, 4, 9, 16, …. }, ఈ రెంటినీ తీసుకొని ఓ ప్రశ్న వేసుకుందాం: సహజ సంఖ్యలు ఎక్కువ ఉన్నాయా, వర్గ సంఖ్యలు ఎక్కువ ఉన్నాయా? ముందర సహజ సంఖ్యలే ఎక్కువ అని తోస్తుంది – ప్రతి వర్గ సంఖ్యా ఒక సహజ సంఖ్యే కాని, అన్ని సహజ సంఖ్యాలూ వర్గాలు కాదు. ఉదాహరణకి మూడు వర్గ సంఖ్య కాదు. కాబట్టి సహజ సంఖ్యలే ఎక్కువ అని సులభంగా చెప్పొచ్చు. కాని గెలీలియో వీటినిలా ఒకదానికొకటి జతచేశాడు:

1	2	3	4	5	6	… (N – సహజ సంఖ్యల సమితి)
↕	↕	↕	↕	↕	↕
1	4	9	16	25	36	… (S – వర్గ సంఖ్యల సమితి)

N లో ఏ సంఖ్యనయినా తీసుకోండి, దాని వర్గం S లో ఉంటుంది; S లో ఏ సంఖ్యనయినా తీసుకోండి, దాని వర్గ మూలం N లో ఉంటుంది. ఈ రెండు సమితులలోని సంఖ్యలని ఒకదానికొకటి జతచెయ్యగలం. అంటే N లో ఎన్ని సంఖ్యలున్నాయో S లో కూడా అన్నే ఉన్నాయి! మరోసారి సహజ సంఖ్యలని పరిశీలించండి – పక్కపక్క సంఖ్యల మధ్య తేడా ఎప్పుడూ ఒకటి గా ఉంది. వర్గ సంఖ్యలని చూడండి – పక్కపక్క సంఖ్యల మధ్య తేడా ఒకటి కన్నా ఎక్కువగా ఉండడమే కాక తేడా పెరుగుతూ పోతుంది – 4 తర్వాత 9 అంటే తేడా 5, 25 తర్వాత 36 అంటే మధ్య తేడా 11, 10000 (ఇది 100 కి వర్గం) తర్వాత 10201 (ఇది 101 కి వర్గం) అంటే మధ్య తేడా 201. ఇలా పై వర్గ సంఖ్యలకి వెళ్ళే కొలదీ పక్కపక్క వాటి మధ్య తేడా పెరుగుతూ పోతుంది. అయినా, సహజ సంఖ్యల సమితిలో ఎన్ని సంఖ్యలున్నాయో మధ్యలో తేడాలున్న వర్గ సంఖ్యల సమితిలో కూడా అన్నే సంఖ్యలున్నాయి!

ఈ విషయం గెలీలియో ముందరే కనుగొన్నాడని పైన తెలుసుకున్నాం. లైబ్నిట్జ్ కూడా సహజ సంఖ్యలూ, సరి సంఖ్యలూ సమానంగా ఉన్నాయని నిరూపించాడు. అయితే, గొప్ప మేధావులైన వారిద్దరికి కూడా ఇది చాలా అసంబద్ధంగా అనిపించింది – మొత్తం ఒక భాగానికెలా సమానమవుతుంది? అన్న చిక్కు సమస్య నుండి బయటపడలేక, అనంతం గురించిన ఆలోచనని ముందుకు తీసుకెళ్ళలేకపోయారు.

కాంటర్ ఈ చిక్కు సమస్యని తలక్రిందులు చేశాడు. ‘పరిమితమైన వాటికి వర్తించేవి అపరిమితమైన వాటికెందుకు వర్తించాలి?’ అని ప్రశ్నించాడు. అంతేకాదు, మొత్తం ఓ భాగానికి సమానమయితేనే అది అనంతమైన సమితి అన్నాడు! దానితో వందల ఏళ్ళుగా అనంతం అన్న ఆలోచనకి వేసిన సంకెళ్ళు విడగొట్టినయింది; అనంతంఅనే ఊహాలోకాల్లోకి స్వేచ్ఛగా విహరించడానికి వీలుపడింది.