రస్సెల్ పారడాక్స్

ఆ వైరుధ్యమే రస్సెల్ తన ఉత్తరంలో ప్రస్తావించింది. దానిని ఇలా అర్థం చేసుకోవచ్చు:

1. సమితి తనలో తాను సభ్యురాలిగా ఉండగలదా? ఉదాహరణకి, గణితవేత్తల సమితిని (set of all mathematicians) తీసుకుందాం. ఈ సమితి ఒక గణితవేత్త కాదు కాబట్టి అది తనలోతాను సభ్యురాలిగా ఉండలేదు. ఇలాటి సమితులని, అంటే తమలో తాము సభ్యులు కాని సమితులని, సాధారణ సమితులు (ordinary sets) అందాం.
2. వేరే ఉదాహరణగా, అన్ని ఆలోచనల సమితిని (set of all thoughts) తీసుకుందాం. ఈ సమితిమే ఒక ఆలోచన అని ఒప్పుకుంటారు కదా. కాబట్టి ఇది తనలో తాను సభ్యురాలవుతుంది. అలాంటిదే మరో ఉదాహరణ: కాకులు కాని సభ్యుల సమితి. ఈ సమితి కాకి కాదు కాబట్టి ఇదీ తనలోతాను సభ్యురాలవుతుంది. ఇలాంటి సమితులని, అంటే తమలో తాము సభ్యులయిన సమితులని, అసాధారణ సమితులు (extraordinary sets) అందాం.
3. సాధారణ సమితులన్నీ ఉన్న సమితిని (set of all ordinary sets) తీసుకుందాం – దానిని S అని పిలుద్దాం. ఇప్పుడు రస్సెల్ ఈ ప్రశ్న వేశాడు: S అన్నది సాధారణ సమితా, అసాధారణ సమితా?

సాధారణమైనదయితే, అది S కి చెందాలి – మనం S ని మూడులో అలా నిర్వచించాం కనుక. అంటే అది తనలో తాను సభ్యురాలు. అలాగయితే రెండో నిర్వచానాన్ని బట్టి అది అసాధారణ సమితిమవాలి!

సరే అసాధారణమైనదనుకుందాం. అప్పుడు అది తనలో తాను చెందదు – S లో ఉన్నవన్నీ సాధారణమైనవని నిర్వచించాం కనుక. కాని పైన ఒకటిలో తమలో తాము సభ్యులు కానివి సాధారణ సమితులన్నాం. కాబట్టి అది సాధారణ సమితి అవుతుంది! అవునంటే కాదు, కాదంటే అవును. ఇదీ రస్సెల్ కనుక్కున్న వైరుధ్యం.

రస్సెల్ కి ఇలాటి వైరుధ్యం వేరే సందర్భంలో తెలుసు: ఊళ్ళో ఓ మంగలి ఉన్నాడు. నీతీ, నిజాయితీ కలవాడు. తనకో నియమం ఉంది: తమకు తాము గెడ్డం చేసుకోలేనివాళ్ళకే క్షవరం చేస్తాడు. మంగలి తన క్షవరం తానే చేసుకుంటాడా? అవునంటే కాదనీ, కాదంటే అవుననీ తేలుతుంది. అయితే ఇది మన వాడుక భాషలో ఉన్న వైరుధ్యం. వాడుక భాష అనేక అపార్థాలకి దారితీస్తుందని మనకి అనుభవమే. అందుకనే ఫ్రేగె, రస్సెల్ కూడా గణిత తర్కానికి కచ్చితమైన భాష ని ప్రతిపాదించారు. ఆశ్చర్యకరమైన విషయం ఏమిటంటే, ఎంతో పకడ్బందీగా నిర్వచించిన తార్కిక భాషలో కూడా ఇలాంటి వైరుధ్యమే ఉంది!

మనకిదేదో సరదాగా ఉండొచ్చు కాని, పాపం, ఫ్రేగె కిది పిడుగుపాటయింది. గణితంలో ఏ నిరూపణ అయినా వైరుధ్యానికి దారితీస్తే, ఆధారాల్లో (premises) ఒకటి తప్పని అర్థం. తను జీవితాంతమూ తపస్సు చేసి ప్రతిపాదించిన స్వయంసిద్ధ సిద్ధాంతాల పునాదుల్లోనే లోపం ఉందన్నమాట. సంఖ్యా గణితాన్ని కేవలం తర్కం ఆధారంగా నిరూపించగలనని ఫ్రేగె తలపెట్టిన భారీ ప్రాజెక్టు కూలిపోక తప్పలేదు. ఫ్రేగె ఆ దెబ్బనుండి ఇక కోలుకోలేదు.

బెర్ట్రాండ్ రస్సెల్

బెర్ట్రాండ్ రస్సెల్
(1872-1970)

గత శతాబ్దంలో అసమాన ప్రతిభావంతుడైన గణితశాస్త్రజ్ఞుడిగా, తత్వవేత్తగా, సాంఘికసంస్కరణవాదిగా, శాంతివాదిగా పేరొందిన రస్సెల్ ని నేను మీకు పరిచయం చెయ్యాల్సిన అవసరం లేదు. కాని తార్కిక గణితం (Mathematical Logic) లో అతని కీలక పాత్రని ఇక్కడ క్లుప్తంగా నయినా చెప్పాల్సిన అవసరం ఉంది. రస్సెల్ కి గణితం అంటే ప్రాణం. చిన్నప్పుడే తల్లిదండ్రులు చనిపోవడంతో చాలా ఒంటరిగా ఆవేదనకి లోనయి, గణితమే లేకపోతే చిన్నప్పుడే ఆత్మహత్య చేసుకొని ఉండేవాణ్ణన్నాడు! గణితానికున్న స్పష్టత, నిశ్చయత, శాశ్వతత్వం అతణ్ణి ముగ్ధుణ్ణి చేశాయి. గణిత సత్యాల్లో సౌందర్యం, వైయక్తికం కాని నిబద్ధత, ఎలాంటి మినహాయింపులూ లేని సార్వత్రిక అన్వయం, ఇవి రస్సెల్ ని అమితంగా ఆకర్షించాయి.

కాని అలాంటి గణితం కూడా సరయిన పునాదుల మీద ఉన్నదా, దాని సిద్ధాంతాలు అంతర్గత వైరుధ్యాల బారిపడకుండా ఉంటాయా అన్న సందేహాలు రస్సెల్ ని వేధిస్తూ ఉండేవి. 1900 సంవత్సరంలో ఇటాలియన్ గణితవేత్త పియానొ (Giuseppe Peano) ని కలుసుకున్న తర్వాత, తర్కమూ గణితమూ ఒకటేనని భావించాడు. గణిత పునాదుల మీద అమితోత్సాహంతో పనిచేశాడు. అదే మార్గంలో పరిశోధిస్తున్న ఫ్రేగె గురించి ఆలస్యంగా తెలుసుకున్నాడు. తెలుసుకున్నప్పుడు ఫ్రేగె గొప్పతనాన్ని గుర్తించి ప్రపంచానికి చాటాడు. తను రాస్తున్న “The Principles of Mathematics,” పూర్తయిందాకా ఫ్రేగె పని గురించి తెలియదు. తెలిసినపుడు పుస్తకానికి అనుబంధం వేసి, ముఖ్యమైన విషయాల్లో తమ ఇద్దరికీ అంగీకారముందన్నాడు.

మరి అంగీకారముంటే, ఫ్రేగె ఎదుర్కొన్న రస్సెల్ పారడాక్స్ కి ఉపాయం ఏమాలోచించాడు? వర్గాల వాదం (Theory of Types) అని ఓ జటిలమైన వాదాన్ని ప్రవేశపెట్టాడు. దీంట్లో ముఖ్యమైన విషయం: “ఏ ప్రతిపాదనయినా అది ఉద్దేశించిన విషయానికే కాని దానినే తిప్పి తనకి వర్తింపచెయ్యకూడదు.” ఆ విధంగా తమలో తాము సభ్యులయే సమితులు లేకుండా జాగ్రత్తపడ్డాడు. తన ఒకప్పటి గురువు Whitehead తో కలిసి, “Principia Mathematica,” అనే ఉద్గ్రంథాన్ని రాశాడు. అయితే వర్గాల వాదం చాలా గజిబిజి గా క్లిష్టంగా తయారయింది. వేరే రకమైన చిక్కులొచ్చాయి. గణితం తర్కం మీద ఆధారపడి ఉన్నదని పూర్తిగా నిరూపించలేకపోయాడు. అలసిపోయాడు. ఇక తన వల్ల కాదు, మరెవరైనా ఈ పని చెయ్యాలి అని తలపోస్తూ ఉన్నాడు.

ఓ రోజు యూనివర్సిటీలో తన ఆఫీసుకి తుఫానులా ఓ జర్మన్ యువకుడొచ్చాడు. శిష్యుడయ్యాడు. గురు శిష్యుల అనుబంధం గాఢమైంది. గురువుని మించిన శిష్యుడు అనుకునే స్థితి కొచ్చాడు. అయితే చివరకి శిష్యుడు గురువు తప్పుద్రోవలో ఉన్నాడని మందలించాడు! గత శతాబ్దంలో అతి ముఖ్యమైన తత్వవేత్తగా పేరుతెచ్చుకున్న ఆ శిష్యుడు లుడ్విగ్ విట్‌గన్‌ష్టైన్.