వికాసయుగాల గణితవజ్రం కలనగణితం (Calculus)

నేను మొదటిసారిగా 2004లో పారిస్ వెళ్ళాను. అదో అద్భుత నగరం. వీధుల్లో తిరుగుతూ వికాసకాలపు విజ్ఞానవేత్తలని గుర్తుచేసుకోవడం గొప్ప అనుభూతి. అక్కడున్న ఐఫెల్ టవర్ గురించి అందరూ వినే ఉంటారు. ఆ కట్టడం మీద ఐఫెల్ 72 మంది పేర్లు – ఫ్రెంచి ఇంజనీర్లవీ శాస్త్రవేత్తలవీ – చెక్కించాడు. వీళ్ళంతా పదునెనిమిదవ శతాబ్దపు వాళ్ళు. లాప్లాస్, లాగ్రాంజ్ లాంటి వాళ్ళ పేర్లు కాలేజీ పుస్తకాల్లో చదువుకున్నవే. ఆ పేర్లు చదువుతుంటే నాకో విషయం తలపుకొచ్చింది. చిన్న దేశమయిన ఫ్రాన్సు లోనే అంతమంది ప్రముఖ శాస్త్రవేత్తలుంటే ఎంతో పెద్దదయిన మన దేశంలో వేళ్ళమీద లెక్కబెట్టగలిగేటంతమంది కూడా ఎందుకు లేకపోయారు? అని.

విజ్ఞానశాస్త్రచరిత్రకారులకి ఇప్పటికీ చిక్కువీడని సమస్య ఒకటుంది. క్రీ.శ. 1600 దాకా యూరోపియన్ దేశాలు ఇండియా, చైనా, అరబ్బు దేశాలకన్నా ముందేమీ లేవు. నిజానికి గణితంలో యూరప్ మిగిలిన దేశాల కంటె వెనుకబడి ఉంది. ఆ తర్వాత యూరప్ మిగిలిన దేశాలని దాటి మహోధౄతంగా ముందుకు పోయింది. విజ్ఞానశాస్త్రాలు వెల్లివిరిశాయి. మూల కారణాలేమైనా దీనికి గొప్ప ఊపు నిచ్చింది వైశ్లేషిక రేఖాగణితమూ, కలనగణితమూ.

వైశ్లేషిక రేఖాగణితం (Analytical Geometry)

గణితంలో రెండు వేర్వేరు పాయలయిన రేఖాగణితాన్నీ (geometry) బీజగణితాన్నీ (algebra) కలిపి సాధింఛిన దానిని వైశ్లేషిక రేఖాగణితం అంటారు. (దీనికే కో – ఆర్డినేట్ జామెట్రీ అని కూడా పేరు.) రేఖాగణితానికి గ్రీకులూ, బీజగణితానికి మన దేశస్థులూ ఆద్యులు. బీజగణితంలో మనవాళ్ళు చేసిన కృషి గణనీయమైంది. మనం చిన్నప్పుడు ఎనిమిదో తరగతిలో బీజగణితపు లెక్కలు చేసేవాళ్ళం. ఒక్కోపువ్వు మీద రెండు తుమ్మెదలు వాలితే, ఒక పువ్వు మిగిలింది; ఒక్కో పువ్వు మీద ఒక్కో తుమ్మెద వాలితే ఒక తుమ్మెద మిగిలింది; పువ్వులెన్ని? తుమ్మెదలెన్ని? పువ్వులు x, తుమ్మెదలు y అనుకొని, సమీకరణాలు (equations) రాసి ఠకీ మని సాధించేవాళ్ళం. ఇలాంటి సమస్యలని భాస్కరాచార్యుడు లీలావతి గణితంలో ప్రముఖంగా వివరించాడు:

“విరహమల్లాటంలో పడి కొట్టుకుంటున్నప్పుడు ప్రియురాలి మెళ్ళోని ముత్యాలహారం తెగింది. ఆ ముత్యాల్లో మూడోవంతు నేలమీద, అయిదోవంతు పడకమీద, ఆరోవంతు ప్రేయసి ఒడిలో, పదోవంతు ప్రియుడి ఒడిలో పడ్డాయి. ఆరు మాత్రం దండలో మిగిలాయి. హారంలో ఉన్న ముత్యాలెన్ని?”

ఇది అడిగిన వెంటనే, చిన్న పిల్లలు కూడా, దండలోని ముత్యాల సంఖ్య x అనుకుందాము, అని మొదలెట్టి, ఓ సమీకరణాన్ని వేసి సాధిస్తారు. తెలియనిదానికి ఒక గుర్తు పెట్టడం అల్ప విషయం కాదు. సరయిన సంకేతాలు లేకపోవడం ఆలోచనకి పెద్ద అడ్డంకి. సంకేతమనేది బీజగణితానికి ఆయువులాంటిది. సంకేతాలని వాడటం మూలాన, మనం పువ్వులు, తుమ్మెదలు, ప్రియులు, ముత్యాలు – ఇలా అనేక మూర్త (concrete) భావనలనుంచి మనసుని అమూర్త (abstract) భావనల మీద కేంద్రీకరించగలం. అప్పుడు భావనలకి సార్వత్రిక యోగ్యత (universal applicability) కలిగే ఆస్కారం ఉంది. దీంట్లో మనవాళ్ళు అప్పట్లో సిద్ధహస్తులు. గ్రీకులకా జ్ఞానం లేదు. మన నుంచి బీజగణితాన్ని నేర్చుకున్న అరబ్బులు గ్రీకుల మార్గాన వెళ్ళి కొంత వెనక్కి వెళ్ళారు.

మధ్య యుగాల్లో యూరోపియన్లు అరబ్బుల మీద జరిపిన దాడుల పర్యవసానం – బీజగణితం యూరప్ చేరడం. ఇక్కడ సంకేతాల విలువని బాగా గుర్తించారు. దాంట్లో ముఖ్యపాత్ర వహించినవాడు – దే కార్ట్ (Decartes) అని పారిస్ లోనే పుట్టిన తత్వవేత్త, తత్వవేత్త కాకముందు గణితవేత్త. గణితం ద్వారానే దేవుడున్నాడని నిరూపించినవాడు!

రేఖాగణితంలోని బిందువుని (point) రెండు సంఖ్యలతో (x, y)తో గుర్తించాడు. రెండు బిందువులని కలిపే సరళరేఖని సరళ సమీకరణంతో, ఒక బిందువు కేంద్రంగా గీసే వృత్తాన్ని వర్గ సమీకరణంతో అన్వయించాడు. అలా జామెట్రీని ఆల్జీబ్రాగా మార్చేశాడు! మన జామెట్రి బాక్సులోని పరికరాలతో గీసేవన్నీ, మనం మనసులో ఈ సమీకరణాలతో ఊహించుకోవచ్చని నిరూపించి, అనేక రేఖాగణిత సమస్యలని బీజగణితం ద్వారా సులభంగా సాధించాడు. స్కేలుతో, వృత్తలేఖినితో గీయలేని రేఖాచిత్రాలని సమీకరణాలతో వివరించవచ్చని చూపెట్టాడు. ఇది విజ్ఞానశాస్త్రంలో విప్లవాత్మకైన మార్పులకి దోహదం చేసింది. బీజగణితం ఓ శక్తివంతమైన పనిముట్టుగా వృద్ధిచెందింది.

బీజగణితాన్ని రేఖాగణిత సమస్యలకి వాడినట్లుగా ఇతర సమస్యలకి కూడా వాడలేమా? అని చాలా మంది ప్రయత్నించారు. వాటిలో రెండు రకాల సమస్యలు చెప్పుకోదగ్గవి.

వంపు క్రింద వైశాల్యం (Area Under a Curve)

ఒకటి పురాతన గ్రీకుల కాలం నాటిది: త్రిభుజం, చతురస్రం, వృత్తం లాంటి క్రమాకారాల వైశాల్యాలకి సూత్రాలున్నాయి కాని నిజ జీవితంలో క్రమంగా లేని సర్వసాధారణమైన రూపాలకి సూత్రాలు లేవు. ఉదాహరణకి పొలంలో ఒకవైపు అంచు వక్రంగా ఉండొచ్చు. వంపు క్రింద వైశాల్యం (area under a curve) ఎంత? అన్నది కొన్ని వందల ఏళ్ళగా తీరని సమస్యగా ఉండిపోయింది.

ఒక మార్గమేమిటంటే, దానిని అనేక దీర్ఘ చతురస్రాలుగా (ఒక అంచు వంపుకి తాకేటట్లుగా) విభజించి, ప్రతిదాని వైశాల్యమూ కనుక్కొని వాటినన్నిటినీ కలిపొచ్చు. ఇది కచ్చితంగా కాదు కాని (ఒక అంచు వంపుకి అటూ ఇటూగా ఉండటాన), ఉజ్జాయింపుగా వస్తుంది. ఎంత కచ్చితంగా కావాలంటే అన్ని ఎక్కువ దీర్ఘచతురస్రాలుగా వాటి వెడల్పుని తగ్గిస్తూ పోవాలి. వెడల్పు అత్యంతతక్కువయితే (infinitesimal) సరయిన సమాధానం వస్తుంది.

తాత్కాలిక వేగం(Instantaneous Speed)

మరొకటి పురాతన సమస్య కాదు కాని మధ్య యుగాల్లో కనిపెట్టిన చలన సూత్రాల (laws of motion) వలన వచ్చింది. బంతిని పైకి విసిరారనుకోండి. అది కొంత వేగంతో మొదలయి, పైకి వెళ్ళి నిశ్చల స్థాయికి చేరుకొని క్రిందకు వస్తుంది కదా. దాని వేగం ప్రతి క్షణమూ (క్షణమనేది ఎంత చిన్నదయినా) మారుతూ ఉంటుంది. ఏ క్షణానయినా బంతి వేగం ఎంతో తెలుసుకోవాలంటే ఎలా? చంద్రుడి దగ్గరికి క్షేమంగా వెళ్ళి రావాలంటే ఇలాంటి జ్ఞానం లేకుండా సాధ్యం కాదు.

సమాకలన, అవకలన గణితం (Integral and Differential Calculus)

లైబ్‌నిట్జ్ పారిస్‌లో గడిపిన నాళుగేళ్ళ కాలంలో (1672-1676) ఈ రెండు సమస్యలనీ సాధించాడు. అందరినీ అప్రతిభులని చేసిన విషయం: వంపు క్రింద వైశాల్యానికీ తాత్కాలిక వేగానికీ ఉన్న అవినాభావ సంబంధం! కూడికలకీ తీసివేతలకీ ఉన్నట్లుగా ఇవి కూడా ఒకదానికొకటి విపర్యం! తాత్కాలిక వేగానికి dy/dx అని తేడా (difference) స్ఫురించేటట్లూ, వైశాల్యానికి ∫ అని సాగదీసిన S లా కూడిక (Sum) స్ఫురించేటట్లూ లైబ్‌నిట్జ్ సంకేతాలు నిర్దేశించాడు. ఆ సంకేతాలని కొన్ని మౌలికమైన సూత్రాలతో కలిపితే కలనగణితపు సమస్యలని బీజగణితపు సమస్యల్లాగే సులభంగా సాధించవచ్చు. యూరప్ ఖండంలో అనేకమంది రకరకాల సమస్యలకి లైబ్‌నిట్జ్ కలనగణితాన్ని వాడటం మొదలెట్టారు. లైబ్‌నిట్జ్ కెంతో పేరొచ్చింది.

(మన ప్రాచీన గణితశాస్త్రవేత్తలందరిలోకీ గొప్పవాడయిన భాస్కరాచార్యుడు కలనగణితపు ప్రాధమిక సూత్రాలని లైబ్‌నిట్జ్ కన్నా అయుదు వందల సంవత్సరాల ముందరే కనుక్కున్నాడు కాని వాటికి ప్రాచుర్యం రాలేదు!)

న్యూటన్‌తో వైరం

ఇంతలో ఒక పెద్ద సమస్య వచ్చి పడింది. న్యూటన్ ఇదే విషయాన్ని లైబ్‌నిట్జ్ కన్నా పదేళ్ళు ముందుగా కనుక్కున్నాడు! అయితే దానిని కొద్దిమంది మిత్రులకి మినహాయించి గోప్యంగా ఉంచాడు. నిజానికి లైబ్‌నిట్జ్‌కి రాసిన రెండు ఉత్తరాల్లో దీనిని ప్రస్తావించాడు కాని, రహస్యపు లిపిని (secret code) వాడాడు!

జర్మనీ వాడికి పేరు వస్తుందే అని ఇంగ్లాండు వాళ్ళకి కన్నుకుట్టింది. తమ న్యూటన్ అంతటి వాడికి ఎదురెవరు అని, లైబ్‌నిట్జ్ గ్రంథచౌర్యం చేశాడని ప్రచారం సాగించారు. న్యూటన్ రాసిన ఉత్తరాలను బయట పెట్టారు. వాటికి బదులు రాయడంలో జాప్యం జరిగింది కాని కారణం లైబ్‌నిట్జ్‌కి అవి వెంటనే చేరలేదు. ఉత్తరప్రత్యుత్తరాల మధ్య గడచిన కాలంలో న్యూటన్ అయిడియాలని లైబ్‌నిట్జ్ దొంగిలించి మార్చుకున్నాడని ఆరోపించారు. ఇద్దరి మిత్రులూ బాగా ఎక్కించారు. మేధావులిద్దరూ ఒకరినొకరు బహిరంగంగా దూషించుకున్నారు. పత్రికలలో ఆకాశరామన్న ఉత్తరాలు రాసి బురద చల్లారు. ఎంతైనా న్యూటన్‌కున్న పేరు ప్రఖ్యాతులు లైబ్‌నిట్జ్‌కి లేవు; ప్రజలు న్యూటన్ మాట నమ్మారు. లైబ్‌నిట్జ్ అప్రతిష్ఠ పాలయ్యాడు.

దానిని తొలగించుకోడానికి లైబ్‌నిట్జ్ రాయల్ సొసైటీ ఆఫ్ లండన్‌కి విచారణ జరపమని విజ్ఞప్తి చేసుకున్నాడు. అది సింహం గుహలో తలదూర్చడంలాగయ్యింది. న్యూటన్ అప్పుడే సొసైటీకి ప్రెసిడెంటయి ఉన్నాడు. విచారణ సంఘం వేశారు. అందులో సభ్యులందరూ న్యూటన్ మిత్రులే! “క్షుణ్ణంగా” కేసుని పరిశీలించి లైబ్‌నిట్జ్ ని దోషిగా తీర్మానించారు; ఓ రిపోర్టు రాశారు. రాసింది ఎవరో కాదు – స్వయానా న్యూటన్!

లైబ్‌నిట్జ్ చివరి దినాలు ఈ గొడవల్లో గడిచిపోయాయి. తన రాతల మూలంగా లైబ్‌నిట్జ్ గుండె పగిలిందని న్యూటన్ సంతోషించాడు. ఓడింది లైబ్‌నిట్జ్ అయినా నష్టపోయింది మాత్రం ఇంగ్లండే! న్యూటన్ విధానం గందరగోళంగా ఉంటుంది; అతనికి అర్థం అయింది కాని మిగిలిన జనాలకి అంత సులభంగా తలకెక్కలేదు. అయినా “దేశభక్తి ” పేరిట దురభిమానంతో ఇంగ్లండు అతని పద్ధతినే పట్టుకు వేలాడింది. ఒక వంద సంవత్సరాల పాటు గణితంలో వెనుకబడిపోయింది.

ఇప్పుడు ప్రపంచంలో కాలేజీలన్నిచోట్లా కలనగణితం నేర్పేది లైబ్‌నిట్జ్ విధానాలతోటే. ఇక్కడ గూడా మనం లైబ్‌నిట్జ్ లో గుర్తించాల్సిన ప్రతిభేమిటంటే, సరయిన సంకేతాలూ మౌలిక సూత్రాల ద్వారా వివిధ రంగాల్లోని క్లిష్టమైన సమస్యలకి సులభమైన సార్వత్రిక మార్గాలని కనుక్కోవడం.