లైబ్‌నిట్జ్ చక్రం

“For it is unworthy of excellent men to lose hours like slaves in the labour of calculation which would safely be relegated to anyone else if machines were used” (G.W. Von Leibniz)

లైబ్‌నిట్జ్ చక్రం

ఆధునిక యుగంలో ఆడవాళ్ళకీ మగవాళ్ళకీ కూడా, వయసుతోపాటు బరువు పెరుగుతోందన్న ఆందోళన ఎక్కువ. బరువుని అదుపులో పెట్టడానికి అనేక రకాల వ్యాయామాలు, వాటికి సంబంధించిన పరికరాలు ఉన్నాయి. వాటిల్లో ఒకటి అడుగులని లెక్కపెట్టేది “పెడోమీటర్” (Pedometer) . ప్రొద్దున్నే నడుందగ్గర తగిలించుకొని దాని విషయం మరచిపోవచ్చు. రాత్రి పడుకోబోయే ముందు చూసుకుంటే ఆరోజున ఎన్ని అడుగులు వేశామో చెప్తుంది!

అలాంటిదాన్నొకదానిని 1672 ప్రాంతంలో దౌత్యవ్యవహారం మీద పారిస్ వెళ్ళినప్పుడు లైబ్‌నిట్జ్ చూశాడు. వెంటనే ఓ అమోఘమైన అయిడియా వచ్చింది: అడుగు వేసినప్పుడల్లా ఆటోమాటిక్‌గా ఒకటి కూడుతోంది గదా; అదే సూత్రం మీద, కూడికలూ తీసివేతలూ, హెచ్చవేతలూ భాగహారాలూ చేసే యంత్రాన్ని ఎందుకు చెయ్యలేము?

లైబ్‌నిట్జ్ పారిస్ వెళ్ళింది రాజకీయపు పనులమీదనే అయినా, వీలుదొరికినపుడల్లా లైబ్రరీలకెళ్ళి అనేక విషయాలమీద చదివేవాడు. ఒకరోజు పాస్కల్ (Pascal 1623-1662) అని గణిత శాస్త్రజ్ఞుడయిన తత్వవేత్త రాసిన ఒక పుస్తకం చదువుతుంటే దాంట్లో కాల్కులేటింగ్ యంత్రం పేరు కనిపించింది. వెంటనే పారిస్ లోని మిత్రులని అడిగి అలాంటిదొకటి పాస్కల్ చేశాడని తెలుసుకుని, దానికి సంబంధించిన వివరాలన్నీ ఆరా తీశాడు.

పాస్కల్ బాల్య మేధావి. వాళ్ళ నాన్న పన్నులు వసూలు చేసే అధికారి. ఆ లెక్కలు వెయ్యడానికి ఆయన పడే అవస్థ చూసి, పాస్కల్ పన్నేండేళ్ళ వయసులోనే కూడికలూ తీసివేతలూ సులభంగా త్వరగా చేసే యంత్రాన్ని తయారు చేశాడు! జీవితం మధ్యలో ఆధ్యాత్మిక చింతన పెరిగి విజ్ఞానశాస్త్రాలకి దూరమయ్యాడు.

(ఆధునిక యుగంలో నిక్లాస్ వర్త్ (Niklaus Wirth) అనే స్విస్ కంప్యూటర్ శాస్త్రవేత్త ఓ చిన్న ప్రోగ్రామింగ్ లాంగ్వేజ్ ని రూపొందించి దానికి పాస్కల్ (Pascal) అని పేరు పెట్టాడు. ఈ మధ్యదాకా యూనివర్సిటీలలో ప్రోగ్రామింగ్ నేర్పడానికి ఈ భాషనే వాడేవాళ్ళు. ప్రోగ్రామింగ్ భాషలని రూపొందించిన కృషికి గుర్తింపుగా వర్త్ కి 1984 టూరింగ్ అవార్డు ఇచ్చారు.)

లైబ్‌నిట్జ్ చక్రం (ఒక పక్క నుండి చూస్తే)

పాస్కల్ యంత్రం కన్నా మించి కూడికలూ తీసివేతలే కాక, హెచ్చవేతలూ భాగహారాలూ కూడా చేసే యంత్రాన్ని లైబ్‌నిట్జ్ తయారుచేశాడు. దీంట్లో ప్రత్యేకత ఓ కొత్త రకమైన డ్రమ్ము. దాని ఉపరితలం మీద వేర్వేరు పొడుగున్న పళ్ళు – ఒకటి నుండి తొమ్మిది దాకా – మెట్లు లాగా చెక్కి ఉంటాయి (stepped drum). దానిని లైబ్‌నిట్జ్ చక్రం (Leibniz Wheel) అంటారు. ఈ డ్రమ్ము పైన మామూలు పళ్ళ చక్రం ఉంటుంది. దానిని డ్రమ్ము పైన వేరు వేరు చోట్ల కావలసిన అంకెకి సరిపడేటట్లుగా జరిపి పెట్టొచ్చు. అప్పుడు డ్రమ్ము ని ఒక రౌండు త్రిప్పితే పళ్ళ చక్రం అంకెకి సమానమయిన అంచెని తాకి అందుకు సమానమయినంత కదులుతుంది. రెండో ప్రపంచ యుద్ధం కాలం దాకా కూడా ఈ నమూనా మీద ఆధారపడి ఉన్న కాలిక్యులేటర్లనే వాడేవాళ్ళు! దీని గురించి ఇంకా వివరాలు ఇక్కడ చదవొచ్చు.

లైబ్‌నిట్జ్ చక్రం (ఒక చివరి నుండి చూస్తే)

ఈ యంత్రాన్ని ఆపరేట్ చెయ్యడానికి కావలసింది మీటలు నొక్కడం, ఇరుసుతో చక్రాన్ని తిప్పడం! పెద్దగా శిక్షణ లేకుండా ఎవరైనా చెయ్యొచ్చు. దీనిని లండన్‌లో రాయల్ సొసైటీ ముందు ప్రదర్శించాడు. ఈ కాలంలో సాఫ్ట్‌వేర్ డెమో చేసినట్లన్నమాట. ఇప్పటిలాగే అప్పుడు కూడా ప్రకటించిన వాటిలో సగమే పనిచేశాయి! ఇప్పటి సాఫ్ట్‌వేర్ ఇంజనీర్ల లాగానే లైబ్‌నిట్జ్ కూడా, “ఇది బీటా రిలీజు. రెండు మూడు నెలల్లో లోపాలు తొలగిస్తాను,” అని మాట ఇచ్చాడు.

ఈ యంత్రం చెయ్యగలిగింది సర్వసాధారణమైన లెక్కలే. లైబ్‌నిట్జ్ కన్నా ముందరే కొందరు అలాంటి యంత్రాలు చేశారు. కాని లైబ్‌నిట్జ్ గొప్పతనం గణన (calculation) స్వభావాన్ని కనిపెట్టడటం – అది యాంత్రికం అని తేల్చేయడం! సృజనీయకమైన పనిచెయ్యగల వాళ్ళు యాంత్రికమైన పనులు చెయ్యడం అవమానకరం అన్నాడు.

సులువైన ద్వియాంశ గణితం (Binary Arithmetic)

సర్వసాధారణమయిపోయిన వాటి ఘనత వెంటనే గ్రహించం. అనాదిగా మానవులకి లెక్కించవలసిన అవరం ఉంది – వేటలో దొరికిన చేపలెన్ని, పశువులెన్ని ఉన్నాయి, పిల్లలెంతమంది, బానిసలెంతమంది, సైనికులెంతమంది. చేతి వేళ్ళని దాటిపోవాల్సిన అవరం వచ్చినప్పుడు వేరే పద్ధతుల్ని కనుక్కున్నారు. సంఖ్యలకి సంకేతాలు పెట్టుకున్నారు. అయితే ఈ సంకేతాలు బండ గుర్తులగా పనికొచ్చాయా, లేక సులభంగా లెక్కలు చెయ్యడానికి సోపానాలయ్యాయా అని అడిగితే మానవ చరిత్రలో చాలా కాలం వరకు కేవలం బండ గుర్తులగానే పనికొచ్చాయని చెప్పక తప్పదు!

ప్లేటో, ఆర్కిమెడిస్ లాంటి మహామేధావులున్న గ్రీకులనే తీసుకోండి. రెండు వేల సంవత్సరాలకి పూర్వమే రేఖాగణిత (geometry) శాస్త్రాన్ని వాళ్ళు అద్భుతంగా అభివృద్ధి చేశారు. అంతకన్నా మౌలికమైన అంకగణితం (arithmetic) లో మాత్రం వాళ్ళు శైశవస్థాయిని గూడా దాటలేదు. కారణం వాళ్ళు సరయిన సంకేతాల ప్రాధాన్యత గుర్తించలేకపోవడమే!

ఇటీవలదాకా యూరప్‌లో కూడికలూ తీసివేతలూ చెయ్యడం సామాన్యమానవుడికి సాధ్యం కాలేదు. అక్కడ మధ్యయుగాలలో కూడా రోమన్ అంకెలు వాడేవాళ్ళు. ఆ పద్ధతిలో చిన్న చిన్న సంఖ్యలు రాయడం కూడా పెద్ద తలనొప్పే. ఇప్పుడు రోమన్ అంకెలు గడియారాల్లో అలంకారానికీ, ఆటల్లో ఆర్భాటానికీ ఆచారానికీ తప్ప విజ్ఞానశాస్త్రాల్లో కనబడవు.

ప్రస్తుతం అన్ని దేశాల్లోనూ చిన్న పిల్లలు కూడా కూడికలూ తీసివేతలూ చెయ్యగలుగుతున్నారంటే దానికి మూలకారణం దశాంశపద్ధతే (decimal system). దీనిని కనుక్కున్నది మన భారతీయులే. నిన్నా మొన్నా కాదు. రెండు వేల సంవత్సరాల క్రితం! మన నుంచి అరబ్బులు నేర్చుకుంటే వాళ్ళని యూరోపియన్లు మతయుద్ధాలలో (Crusades) వశం చేసుకున్నతర్వాత దశాంశపద్ధతి “చాప కింద నీరు”లా యూరప్ చేరింది మధ్య యుగాల్లోనే! (దశాంశ పద్ధతిని మనకన్నా ముందరే చైనీయులు కనుక్కున్నారని కొందరు పండితులు వాదిస్తున్నారు. అది ఒక వేళ నిజమే అయినా, ప్రపంచమంతా వాడుకలో ఉన్న ప్రస్తుత పద్ధతి మన దేశం నుంచే వ్యాప్తి అయిందని ఎక్కువ మంది ఒప్పుకుంటారు.)

దశాంశ పద్ధతికున్న విశిష్ట గుణాలు మూడు: 1) స్థానాన్నిబట్టి విలువ కట్టడం – దీనితో ఎంత పెద్ద సంఖ్యనయినా క్రమంగా క్లుప్తంగా రాయొచ్చు. 2) అందుకు కావలసిన పది అంకెలకి నిర్దిష్టమైన సంకేతాలివ్వడం. 3) శూన్యానికున్న ప్రాముఖ్యతని గుర్తించి దానికి ప్రత్యేకమైన సంకేతాన్ని (0) ఇవ్వడం.

చిన్నప్పుడు కప్పు ఎగిరిపొయ్యేలా ఎక్కాలు చదవడం, తప్పుచేస్తే తొడపాశాల పాలవడం గుర్తొస్తే ఈ దశాంశపద్ధతిని నేర్చుకోవడానికి కూడా కొన్నేళ్ళు పడుతుందని అర్థమవుతుంది. ఎందుకంటే, 9+7 ఎంతంటే మనం వేళ్ళు లెక్కపెట్టాలి. 9×7 ఎంతంటే బట్టీ వేసినదాన్ని గుర్తు తెచ్చుకోవాలి. వేళ్ళు మూయడం తెరవడంలో గానీ, ఎక్కాల పట్టికని గుర్తు తెచ్చుకోవడంలో గానీ, ఏ కొంచెం తప్పు చేసినా లెక్కంతా తారుమారవుతుంది.

ఇంతకన్నా సులభ మార్గముందా? పది అంకెలు వాడకుండా క్లుప్తమయిన పద్ధతి ఉందా? అని లైబ్‌నిట్జ్ ఆలోచించి ద్వియాంశ పద్ధతిని (రెండంకెల గణితాన్ని) కనిపెట్టాడు. దీనిని కూడా మన దేశస్థుడయిన పింగళుడు కవిత్వంలో గురువుల లఘువుల ప్రాధాన్యతని వివరిస్తూ, క్రీస్తుకి పూర్వమే కనుక్కున్నాడని చెప్తారు కాని, దానిని పూర్తిగా వివరించిన వాళ్ళలో మొదటివాడు లైబ్‌నిట్జ్ అని గుర్తించాలి.

ద్వియాంశ పద్ధతిలో ఉన్నది రెండే రెండు అంకెలు (0, 1) కావడాన దాంట్లో లెక్కలు చెయ్యడం చాలా సులభం. వాటితో ఎంత పెద్ద సంఖ్యనయినా రాయొచ్చు. క్రింది స్థానాలనుండి పై స్థానాలకి వెళ్ళేకొలదీ దశాంశ పద్ధతిలో ఒకటి, పది, వంద, వెయ్యి, … ఇలా స్థాన విలువ పదింతలయినట్లే ద్వియాంశ పద్ధతిలో ఒకటి, రెండు, నాలుగు, ఎనిమిది, పదహారు, ముప్ఫై రెండు, అరవై నాలుగు, … ఇలా స్థాన విలువ రెండింతలవుతుంది. అంతే తేడా. ఉదాహరణకి మొదటి పది సంఖ్యలనీ (0 నుండి 9 దాకా) ద్వియాంశ పద్ధతిలో ఇలా రాస్తారు: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001.

కేవలం రెండు అంకెలతో సంఖ్యలని గుర్తించగలిగినంత మాత్రాన పెద్ద ప్రయోజనం లేదు. సంఖ్యలతో చేసే పనులు సులభంగా చెయ్యవచ్చా లేదా అన్నదే ముఖ్యం. అందుకు ఏమాత్రమూ సందేహం లేదు. కూడికలూ తీసివేతలూ చెయ్యడానికి కాళ్ళూ చేతులూ వాడాల్సిన అవసరం లేదు: 0+0=0; 1+0=1; 0+1=1; 1+1=10 (అంటే రెండు). హెచ్చవేతలకి ఎక్కాల పట్టికని కంఠస్థం చెయ్యాల్సిన అగత్యం లేదు: సున్నాని సున్నాతో పెంచినా ఒకటితో పెంచినా సున్నాయే; ఒకటిని ఒకటితో పెంచితే ఒకటే! 0x0=0; 0x1=0;1×0=0;1×1=1. ఇదెంతో సహజంగానూ గుర్తుంచుకోడానికి ఎంతో సులభంగానూ ఉందని అందరూ ఒప్పుకుంటారు.

తను కనుక్కున్న పద్ధతిని చూసుకొని లైబ్‌నిట్జ్ చాలా మురిసిపోయాడు. ఒకటి దేవుడికీ, సున్నా శూన్యానికీ చిహ్నాలనీ, దేవుడు శూన్యాన్నించి ప్రపంచాన్ని సృష్టించాడన్న తన తత్వానికి కూడా దీనిని అన్వయించుకున్నాడు!

ద్వియాంశ పద్ధతితో ఒకటే ఇబ్బంది. సంఖ్యలు చాలా పొడుగయి రోజువారీ జీవితంలో వాడటానికి అసౌకర్యంగా ఉంటాయి. ఒకరి వయసు 50 సంవత్సరాలు అని రాయడానికి బదులు 110010 అని (32×1 + 16×1 + 8×0+ 4×0 + 2×1 + 1×0 = 50) రాయాలి. అందువలన దశాంశ పద్ధతినే వాడుకలో ఉంచాలని లైబ్‌నిట్జ్ భావించాడు.

అయితే అతి తక్కువ అంకెలతో గణితం సాధ్యం కావడాన, దీనితో లెక్కల్ని యాంత్రికంగా సులభంగా తప్పులు లేకుండా చెయ్యొచ్చనీ, అందుకు చక్రాలూ, గేర్లూ లేకుండా, మూసుకునే తెరుచుకునే రంధ్రాలున్న జల్లెడలాంటి పరికరంతో యంత్రాన్ని ఎలా తయారుచెయ్యవచ్చో రూపకల్పన గూడా చేశాడు!

ఇప్పుడు ఓ క్షణం లైబ్‌నిట్జ్ కాలం దాటి రెండు మూడు వందల ఏళ్ళు ముందున్న ఎలెక్ట్రానిక్ యుగంలోకొద్దాం. 1945లో జాన్ ఫాన్ నోమన్ (John von Neumann) అని ఓ గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు కంప్యూటర్ల నిర్మాణం గురించి ఓ రిపోర్టు రాశాడు. ఈ మేధావిని గురించి ముందు ముందు తెలుసుకుందాం. ఇప్పటికీ గూడా అన్నిరకాల కంప్యూటర్లనీ ఆయన నిర్దేశించిన నిర్మాణ పద్ధతిలోనే చేస్తున్నారు! ఆ రిపోర్టులో ద్వియాంశ పద్ధతిని ఎందుకు వాడాలో వివరించాడు: 1) కంప్యూటర్లలో ఉండే ఎలెక్ట్రానిక్ సర్క్యూట్ గేట్లు ఒక స్థితి నుండి మరొక స్థితికి అతి త్వరగా మారుతుంటాయి. గేటు ఎప్పుడూ తెరచిగానీ (off) మూసిగానీ (on) ఉంటుంది. గేట్లు ఈ రెండే స్థితులలో ఉండటాన వాటితో రెండంకెల గణితం చాలా సులభంగానూ వేగంగానూ చెయ్యొచ్చు. 2) కంప్యూటర్ కంట్రోల్ అంకగణితం మీద కన్నా ఎక్కువగా తర్కం మీద ఆధారపడి ఉంటుంది – తర్కంలో కూడా రెండే విలువలు (True or False, నిజమా కాదా?) ఉండటం వల్ల రెండంకెల పద్ధతి అనుకూలంగా ఉంటుంది. అందువలన ఇప్పటి కంప్యూటర్లలో ద్వియాంశ పద్ధతినే వాడుతున్నాం.

దీంట్లో మనం ముఖ్యంగా గుర్తించాల్సిన లైబ్‌నిట్జ్ ప్రతిభేమిటంటే క్లిష్టమైన భావాలని సరళమైన భాషలో క్లుప్తమైన గుర్తులతో వాడటం. చిన్న చిన్న మౌలికమైన కార్యాల (operations) ద్వారా పెద్ద పెద్ద సమస్యలని సాధించగలగడం. ఇది అతను జీవితాంతం చేస్తూనే ఉన్నాడు – తత్వశాస్త్రం, న్యాయశాస్త్రం, చరిత్ర, గణితం, భౌతిక శాస్త్రం – ఏది చేపట్టినా దానికి కొంత క్రమమైన భావన తీసుకురావడానికి నిర్విరామంగా కృషిచేశాడు. ద్వియాంశ గణితం లైబ్‌నిట్జ్ జీనియస్‌కి మరో మచ్చుతునక.